Alkulukuparit 1/3

GOLDBACHIN HYPOTEESI, OSA 4/9

Kautta aikojen on tiedetty, että alkuluvut monesti esiintyvät pareittain. Luultavasti matematiikan suuret nerot, kuten Eukleides ja Erastothenes (300ekr.), Fibonazzi (1200-luku), Fermat (1600-luku) tai Gauss (1800-luku) ovat ainakin osapuilleen hahmottaneet mistä tämä johtuu, mutta nykyään useimmat alkuluku-fanaatikot näyttävät oleva täysin tietämättömiä syistä. Yksi alkulukujen mystillistä vetovoimaa lisäävä seikka ovat alkulukuparit - vaikka niissä ei ole yhtikäs mitään outoa.

Olen etsinyt netistä sivustoa, jolla alkulukuparien käyttäytymistä selitettäisiin yksinkertaisesti, mutta en ole löytänyt sellaista. Monessakin paikassa asioita toitotetaan, mutta havaittuja ilmiöitä ei ymmärretä. Jälleen kerran palaamme siihen ongelmaan, joka syntyy, kun tekijät ja alkuluvut määritellään samaksi asiaksi ja alkulukujen oletetaan olevan rakennuspalikoita ja muodostavan kuvioita.

Kreikkalaisen Apostolos Doxiadisin romaanissa Petros-setä ja Goldbachin hypoteesi esitetään alkuluvut sietämättömänä paradoksina, joka härnää suurten matemaatikoiden älyä selittämättömyydellään. Kirjan Petros-setä on pakkomielteisesti kiinnostunut alkuluvuista ja hän selittää ahdistustaan näin (s. 78):

”Koska alkuluvut ovat kokonaislukujen rakennuspalikoita, ja kokonaisluvut perusta maailmankaikkeuden loogiselle ymmärtämiselle, niin mikset niitä hallinnut mikään lainmukaisuus? Miksi niissä ei ilmennyt mitään ’jumalaista geometriaa’?”

Alkuluvut ymmärretään "rakennuspalikoiksi" ja niiden jakautumaa tuijotetaan kuin odottaen, että toistuva kuvio vain ilmaantuisi ajan pitkää. Myös geometriasta puhuminen on järjetöntä, sillä geometria ja alkuluvut hylkivät toisiaan kuin vesi ja öljy.


Rumat Lego-palikat

Otetaan esimerkiksi vaikka kolmio, geometrian perusta. Tiedämme, että tietyn kolmion sivujen pituudet ovat X, Y ja Z, joista X ja Y ovat alkulukuja.

Jos nyt muutamme kolmion mittayksikköjä siten, että sivut ovat 2X, 2Y ja 2Z, tapahtuu kummia. Ensinnäkään kolmiolle ei tapahdu yhtään mitään. Se on ihan sama olio riippumatta siitä, ovatko sen sivut alkulukuja vai ei. Voimme muuntaa sivut tuumiksi tai peninkulmiksi tai miksi tahansa, kunhan niiden keskinäinen suhde säilyy samana. Geometrian näkökulmasta kolmiossa ei tapahdu mitään muutosta, vaikka sen sivut lakkaisivatkin olemasta alkulukuja.

Geometriassa on kyse suhteista, kun taas alkuluvut ovat pseudo-aritmeettisia olioita. Ne eivät ole edes aritmeettisia olioita, sillä niitä ei voi mitenkään ilmaista aritmeettisilla metodeilla - esimerkiksi jonkinlaisena funktiona tai loogisena lukusuorana. Alkuluvut ovat tekijöiden toiminnan sivutuote ja tekijöitä me kyllä pystymme tutkimaan aritmeettisesti.

Tietenkin voisi väittää, että alkuluvut ovat "geometrisesti mielenkiintoisia" siksi, ettei niitä voi esittää kokonaislukuina tasossa tai kuutiona. Ne ovat siis yksiulotteisia olentoja tai muotopuolia lego-palikoita.

Paint-mestariteos: "Mutantti-Legot"

On kuitenkin osattava tehdä tietty ero mielenkiintoiselle ajatusleikille ja umpikujalle. Useimmat alkulukujen jännittävät piirteet eivät johda mihinkään - minkä historia on osoittanut. Näitä tutkimuksellisia umpikujia myös Doxiadis esittelee, mutta hän ei löydä parempia lähestymistapoja juuri siksi, että hän on liian viehättynyt lukumystiikkaan. Hän tuijottaa alkulukuja kuin ne olisivat jotain kemian alkuaineita (huomaa sanojen yhdenmukaisuus suomen kielessä). Myös niiden tulisi siis muodostaa jonkinlainen jaksollinen järjestelmä.

Toki Petros-setä on vain kaunokirjallinen teos, eikä mikään väitöskirja, mutta psykologinen perspektiiviharha ulottuu myös vakavan tieteen alueelle.

Seuraksena on, että alkulukupareista löytyy valtava määrä monimutkaisia teoreemia, joissa niitä ennustetaan ja todistellaan ilman perustason ymmärrystä. Voi tietenkin olla, että hyvinkin moni matemaatikko on jo itse mielessään hahmottanut asioiden laidan, mutta ei ole jaksanut julkaista ajatuksiaan - siinä oletuksessa, että kyllä Fermat'n päiväkirjoista löytyy jostain sama selitys, joten miksi vaivautua. Eihän siinä ole mitään kunniaa, että selittää lapsille itsestäänselvyyksiä. Nyt aion kuitenkin selittää itsestäänselvyyksiä - ja ne lapset ovat yliopistotason harrastelijoita - tosin useimmat ammattitutkijat taitavat olla kyllin fiksuja pysyäkseen kaukana alkuluvuista.


Matriisi jossa elämme

Tärkein työvälineemme tulee olemaan tekijämatriisi. Tässä vaiheessa voisi olla hyvä kysyä, mitä mieltä on siiinä, että opettelemme soveltamaan jotain ihmeen ruutupaperille piirrettyjä taulukoita?

Vastaus: Me jo päivittäin käytämme erästä tekijämatriisia, emme vain tiedosta sitä. Tuo matriisi on nimeltään kymmenjärjestelmä, ja sitä voisi kutsua myös nimellä Origo10. Osaamme hyödyntää sitä monin tavoin ajattelussamme.

Kymmenjärjestelmä on helppo analyyttisesti palauttaa matriisiksi, eli tuoda näkyviin sen tekijät.

Origo10

Jokainen matriisi antaa meille jotain apriorista tietoa alkuluvuista. Tämän matriisin sisäistettyämme me esimerkiksi tiedämme, että luku, joka päättyy nollaan tai viitoseen ei voi olla alkuluku. Kymmenjärjestelmä ei siis ainoastaan ole vain merkkijärjestelmä - se on myöskin skeema, joka opastaa ajatteluamme.

Jos käyttäisimme kymmenjärjestelmän sijasta 12-järjestelmää, voisi myös 5:een päätyvä luku olla alkuluku. Esimerkiksi kaksitoistajärjestelmään kirjoitettuna 15 (yksi, viisi) olisi alkuluku: täysi tusina + viisi, eli 1 x (12 potenssiin 1) + 5 = 17.

Luvuilla "kymmenen" ja "yksitoista" täytyisi tietenkin olla oma symboli, jotta edes voisimme merkitä tämän järjestelmän lukuja. Jos joku tuntee sellaisia symboja niin vinkatkaa! Jos lukuteoria ei jo käytä 10-järjestelmän ulkopuolisia lukuja niin sellaisia täytyisi kehittää. Merkintä 10 tarkoitaisi 12-järjestelmässä tietenkin tusinaa.

Vielä vieraammalta tuntuisi 15-järjestelmä, eli matriisi 3 x 5, origo15. Nyt jopa luvut, jotka päättyvät 2, 4 tai 8 voivat olla alkulukuja! - mutta vastaavasti 3, 6 ja 9 loppuiset eivät koskaan.

15 + 2 = alkuluku
15 + 4 = alkuluku
15 + 8 = alkuluku
 
3x15 + 2 = alkuluku
3x15 + 4 = ei alkuluku (7x7)
3x15 + 8 = alkuluku

15 + 3 = ei alkuluku (3x6) --> 15n + 3 = ei koskaan
15 + 6 = ei alkuluku (3x7) --> 15n + 6 = ei koskaan
15 + 9 = ei alkuluku (4x6) --> 15n + 9 = ei koskaan

Mitä useampia matriiseja me tunnemme, sitä paremmin intuitiomme osaa tunnistaa alkulukuja.


Uneksivatko tekijät loikkivista lampaista?

Leikitään hetki ruutupaperilla, johon on kuviteltu lukujono ja sen luvut on purettu tekijöiksi. Pienimmätkin tekijät etenevät pelilaudalla (eli lukujanalla) hyppimällä ruutujen ylitse - ja mitä suuremmista tekijöistä on kyse, sitä pidempiä harppauksia ne ottavat.

Kun usampi tekijä kohtaa samassa ruudussa - ja varsinkin kun ne ovat saapuneet matriisin nollakohtaan - ne ottavat yhdenaikaisen loikan. Tällöin ruudussa, jonka ne ylittävät on usein alkuluku.

Kohtaamispaikka 42 ja loikka "43"

Valitsin luvun 42, koska tiesin, että siinä on tekijänä 7 - ja itse asiassa se on pienin luku, jossa 7 on tekijänä kahden muun tekijän kanssa: 2 x 3 x 7.

Kuvasta näemme kuinka 7 hyppää lukuun 49 ja myös tekijät 2 sekä 3 ottavat itsensä pituisen askelen. Jotta tietäisimme missä tekijä 5 seikkailee, olen merkinnyt sen lukujanan alapuolelle.

Voimme nyt turvallisesti veikata, että luku 43 on alkuluku. Kaikki mainitut ja merkityt (siis tunnetut) tekijät harppovat sen ylitse. Me emme tietenkään näe kaaviosta kaikkia tekijöitä. Esimerkiksi naapurilla 44 on tekijänä alkuluku 11 (2 x 2 x 11). Tässä vaiheessa liikkeellä ovat myös alkuluvut 13, 17, 19, 23, 29 ja 37.

43 on kuitenkin alkuluku. Kaikki harppovat sen ylitse. Mitä isompi alkuluku, sen pidempi askel - ja sitä vähemmän vaaraa tutkimuksillemme. JOTTA NÄISSÄ TUTKIMUKSISSA KUITENKAAN OLISI MITÄÄN JÄRKEÄ, MEIDÄN TÄYTYY JOSSAIN VAIHEESSA SAADA SELVILLE AIVAN KAIKKIEN TEKIJÖIDEN SIJAINTI. Ei huolta, me pääsemme kyllä siihen osoitettuani muutaman yksinkertaisen säännön, jotka pätevät poikkeuksetta.

Mutta nyt takaisin alkulukupareihin.


Alkuluvut astuvat maailmaan kaksosina

Tarkastellaan lukua 42 sekä sen tekijöitä hieman laajemmasta perspektiivistä.

KLIKKAA ISOMMAKSI.

Alkulukupari 41 & 43

Kyseessä on siis matriisin 2 x 3 x 7 nollakohta. Ja matriiseista tiedämme sen, että ne ovat aina symmetrisiä. Niinpä myös tämän nollakohdan kääntöpuolelta löytyy toinen alkuluku: 41.

Alkulukujen pariutuminen ei ole mysteeri. Kun tunnistamme matriisin symmetrian, siinä ei ole mitään outoa. Pariutuminen on ilmiö, joka voidaan selittää auki, todistaa, perustella monin tavoin - ja ennen kaikkea ymmärtää. Toistaiseksi tähän ymmärtämiseen ei ole lukuteoriassa juurikaan panostettu. Itse asiassa voin muutaman esimerkin avulla todistaa tämän ymmärryksen historiallisen niukkuuden.


Hullunkuriset historialliset funktiot

Fermat ja monet muut matemaatikot ovat väsänneet alkulukuja tuottavia funktioita, joissa lähes poikkeuksetta kerrotaan keskenään alkulukuja ja tuloon lisätään +1. Näin löytyykin huomattavan helposti alkulukuja, koska tekijät on niputettu samaan ruutuun ja seuraava luku kohtuullisella todennäköisyydellä on alkuluku.

Nämä suuret matemaatikot eivät kuitenkaan hoksanneet, että sama funktio voisi löytää alkulukuja myös silloin, kun sen jakojäännös on -1. Myös edellisessä ruudussa on todennäköisesti tekijöistä vapaa palsta. Tämä vihjaa, etteivät kyseiset ajattelijat ole olleet ihan kartalla - tai ainakin heitä popularisoineet opettajat ovat yksinkertaistanet tarinaa.

Myös käänteisiä tarinoita löytyy. Fermat'n aikalainen Marin Mersenne esimerkiksi jumiutui lukuun -1. Mersennen alkuluvulut ovat muotoa "2 potenssiin p miinus 1".

Itse asiassa herrat tunsivat toisensa ja sopivat kirjeitse, että" keskity sinä nähin +1 juttuihin niin minä tutkin näitä -1 ilmiöitä". Ja ei, nyt en ollenkaan pilaile. Näin matemaattisesti suuntautuneet hemulit todellakin toimivat, jotta heidän välilleen ei syntyisi riitaa.

Funktioita kroonisesti (tai maanisesti) hyödyntävät matemaatikot tuijottavat alkulukuja kuin ne olisivat kuvio. He eivät näe todellista kuviota, symmetristä tekijöiden verkostoa, josta alkuluvut puhkeavat esiin. Matriisien näkökulmasta ei ole mitään järkeä siinä, että jokin funktio katsoo ainoastaan solmukohtien eteen (-1) tai ainoastaan niiden taakse (+1). Kumpikin metodi löytää alkulukuja kohtalaisen usein, sillä tekijöiden kertominen tuottaa matriisin nollakohtia ja seuraava tai edellinen luku ei voi sisältää näitä tekijöitä. Niinpä siitä saattaa löytyä alkuluku - mutta mikään funktio ei ole erehtymätön, sillä tekijöitä riittää.

Netistä löytyy monia sivuja, joilla vouhkataan esimerkiksi Mersennen alkuluvuista ja ihmetellään tietokoneiden tarjoamia tuloksia. Iik! Taas löytyi uusi valtavan suuri mersennen alkulku!! WTF?!

Itse asiassa Mersennen funktion, kuten kaikkien muidenkin on jo moneen kertaa osoitettu vuotavan. Ne tuottavat myös lukuja, jotka eivät ole alkulukuja. Siitä huolimatta fanit eivät ole lannistuneet. He uskovat Mersenneen. He uskovat loppuun asti, että -1 voittaa ja tuottaa enemmän alkulukuja kuin Fermatin suosima +1. Miinuksessa on heidän mielestään enemmän magiaa kuin plussassa.

Itse asiassa alkulukuja etsivän funktion jakojäännöksen ei tarvitse olla +1 tai -1. Se voi olla mikä tahansa alkuluku, jota ei vielä ole sijoitettu funktioon. Esimerkiksi, jos kerromme keskenään luvut 2 x 3 x 5 ja 7 ja lisäämme tai vähennämme 11 (tai 13, 17, 19, 23, 29 jne.). Uusi luku ei voi olla jaollinen tekijöillä 2, 3 , 5, 7 tai myöskään 11. Se on 11 askelen päässä ruudusta, jossa ovat 2, 3, 5 ja 7 - eikä mikään niistä voi ottaa 11 pituista askelta. Luku ei myöskään voi olla 11:lla jaollinen, sillä 11 ottaisi suoraan askelman ruutuun 2 x 3 x 5 x 7 joka ei voi olla 11:lla jaollinen.

Tämä itse asiassa johtaa siihen, että alkulukuja on ääretön määrä. Jos luku 2x3x5x7 + X on jaollinen luvulla Y, ei sama voi päteä lukuun 2x3x5x7 - X. Jos Y löytyisi kummastakin ruudusta, se kulkisi siinä tapauksessa matkan 2X, mikä on mahdotonta kaikille muille alkuluvuille paitsi 2 tai X. Uusi nollakohdasta katsottuna negatiivinen sijainti voi kylläkin olla jaollinen luvulla Z.

Kun nyt huomioimme kohdat 2x3x5x7 + Y ja Y sekä + Z ja -Z, saamme neljä uutta potentiaalista alkulukua, tai ainakin sijaintia, jotka eivät voi olla jaollisia luvuilla 2, 3, 5 tai 7. Joka tapauksessa varteenotettavat tekijät loppuvat ennen kuin saamme kaikki sijainnit kartoitettua - niinpä metodilla löytyy uusi alkuluku ennemmin tai myöhemmin.


Alkulukujen lukumäärästä matriisien sisällä ja äärettömyyteen

Käsittelen alkulukupareja kolmessa osassa. Toistaiseksi tiedämme vain, että alkulukuja syntyy pareittain, koska matriisit ovat symmetrisiä ja tekijät kokoontuessaan samaan ruutuun jättävät tyhjän tilan molemmille puolille nollakohtaa.

Seuraavaksi alamme ennustaa alkulukujen sijaintia analyyttisesti sekä laskea alkulukujen määrän matriiseissa. Kaiken tämän me opimme tekemään hyvinkin eksaksisti. Vasta aivan viimeiseksi pohdimme, miten voimme ottaa lukuun myös ei-tunnetut tekijät, ja ennakoida esimerkiksi yllä näkyvän kuvion liikkeelle lähteneen alkuluvut 11, 13 tai 19.

Villit tekijäkokelaat eivät noudata symmetriaa, kuten tunnetut tekijät. Montako niitä on tällä alueella? Ovatko ne "varteenotettavia" tekijöitä? Ja jos ovat, kuinka me tiedämme missä ne liikkuvat?

Kun saamme vastauksen näihin kysymyksiin, voimme paikallistaa alkuluvut äärettömän suurilla janoilla - ja olemme todistaneet, että alkulukupareja on ääretön määrä - matematiikan avoin kysymys, jota toistaiseksi ei kukaan ole ratkaissut.

Leipä

eli kansallinen Ruispalat -Tragedia.

Kukkulan kuningas

Tykkään ruispaloista. Ne ovat hyvä tuote. Ne maistuvat sekä tuoreena että useamman päivän ikäisenä. Ruispaloilla on ikään kuin kaksi elämää: ensin ne ovat pehmeitä ja menevät melkein sellaisenaan, ja myöhemmin kun ne ovat jo kivikovia, niistä saa paahtamalla esiin uudenlaista herkullista makua. Ruispalat on suunniteltu hyvin myös siinä suhteessa, että puoliskot irtoavat toisistaan helposti.

Tämä kaikki on surullista siksi, että Ruispalat ovat ajaneet vararikkoon monta paikallista pientä leipomoa. Vaasan yhtiöt ovat myös hyödyntäneet ruispalojen menestystä ja ostaneet markkinoilta monta pienempää kilpailijaa. Itse olen kotoisin Joutsenosta ja vielä 90-luvun alussa kaikki söivät paikallisen leipomon Joutsenolaisen leipää. Vaasa tuli ja osti koko yrityksen - ja nyt Joutsenon päässä tehdään pakasteita liukuhihnalla.

Minulla ei mitään Vaasan leipomoon kohdistuvaa erityistä kaunaa, mutta pakko sanoa, että useimmat muut Vaasan tuotteet ovat surkeita. Ilman ruispaloja yrityksellä tuskin olisi niin laajoja jakeluvekostoja, niin hyviä suhteita kauppaketjuihin tai varaa markkinointiin. Jokaisessa suomalaisessa marketissa myydään ruispaloja - ja niinpä joka paikassa myydään myös muita Vaasan leipomoiden kehnoja tuotteita: mauttomia korvapuusteja, pitkästyttäviä pitkoja, keinotekoisen makuisia viinereitä...

Tämä on se varsinainen kansallinen ruispalat-tragedia: suuri joukko vanhoja, pakastimen kautta kulkeneita tylsän makuisia tuotteita, jotka ovat osana kauppojen valikoimaa vain, koska ne kuuluvat samaan tuoteperheeseen supertähden kanssa. Ruispalat on stara, mutta Vaasan perheeseen kuuluu myös monta turhaa julkkista.


Paikalliset leipomot

Uutisten mukaan viime vuodet ovat olleet synkkiä monelle pienleipomolle. Karppaaminen sai kaiken muun pahan ohella aikaan sen, että pullatuotteiden (ihan oikein) sekä leipien (suuri virhe) kysyntä väheni. Tämä ajoi monta jo muutenkin ahtaalla elänyttä pienyritystä vararikkoon.

Oikea leipä on aina paikallista, samana aamuna paistettua - mielellään myös oman pitäjän jauhoista käsin leivottua. Olen käynyt Suomessa varmaan sadalla paikkakunnalla ja aina uudessa paikassa haluan maistaa paikallista leipää.

Kirjoitushetkellä asun Sysmässä Villa Sarkian residenssissä. Jokainen paikallinen kauppa myy paikallista rukiista leivottua reikäleipää - ja se on aivan mahtavan makuista. Sysmän leipä on valehtelematta suomalaisen ruisleivän aatelia. 100% ruista, vettä, suolaa. Ei mitään turhaa. Joka aamu ensimmäisenä tekona käyn kaupassa hakemassa lämpimän ruiskiekon. Niihin ei kyllästy. Kun palaan Helsinkiin, aion viedä mukanani ainakin 3-4 leipää. Ehkä syön ne vielä samalla viikolla tai annan lahjaksi.

Sysmän leipä

Yhtä hyvää ruisleipää olen syönyt vain Kuhmossa ja Parikkalassa. Vaikea sanoa mikä on kaikkein parasta, koska kaikilla on oma tyylinsä. Joka tapauksessa Helsingissä asumisen ikävimpiä puolia on se, ettei kaupoista tahdo löytyä kunnon leipää.

Parikkalan pika-pulla

Ottaiskin ohraleipä!

Ruisleipien tilanne on useimmilla paikkakunnilla ihan hyvä. Paljon vaikeampi on löytää kunnollista ohraleipää, jota Itä-Suomessa kutsutaan rieskaksi (keskisuomessa rievä).

Paksua ja mehevää rieskaa saa eteläisen Saimaan rannoilta ainakin Lappeenrannasta, Joutsenosta ja Imatralta, mutta maun puolesta voiton taitaa viedä Savitaipale. Ainakin vielä muutama kesää sitten paikkakunnalla oli useampi kilpaileva leipomo ja kaikkien leivät olivat erittäin hyviä - mutta paras oli ehkä koko Suomen paras!

(Harmi etten muista leipomon nimeä. Täytyy joskus varmaan poiketa Savitaipaleella ihan vain sen leivän takia.)

Tältä näyttää oikea ohrarieska

Jos haluat tietää miltä ohrarieska maistuu niin lorauta saunan löylykauhaan veden sekaan hieman olutta. Se herkullinen tuoksu joka kiukaasta suhahtaa antaa kalpean aavistuksen lämpimästä ohrarieskasta.

Lappalainen rieska on kuivaa ja täysin mautonta sen rinnalla - vaikka varmastikaan se lapinrieska, jota kaupoissa myydään ei anna oikeaa kuvaa. Paikallinen, perinteinen ja tuore leipä on aina omassa luokassaan.

Goldbachin hypoteesi, osa 3

Seuraavaksi esittelen tekijämatriisin. Se koostuu tunnetuista tekijöistä. Tunnetut tekijät tunnetaan aluksi siksi, että ne on määritelty yksitellen - mutta myöhemmin kun opimme ymmärtämään tekijöiden käyttäytymistä, "tunnettujen" tekijöiden ala laajenee. Voisi jopa sanoa, että lopulta tunnettujen tekijöiden ala kasvaa äärettömiin - mutta ihan sellaisesta en vielä uskalla puhua. Tunnettua tekijää määrittää se, että voimme laskea algoritmeille eksakteja arvoja - emme siis likiarvoja, joihin alkulukututkimuksessa on tyypillisesti tyydytty.

Yksinkertaisin tunnettu tekijä on luku 2. Itse asiassa se on tunnettu juuri siitä syystä, että meillä on matemaattisessa kielessämme sille ihan oma käsitepari: parillinen / pariton. Jos jonkin luvun kerrotaan olevan parillinen, me tiedämme, että sen tekijnä on luku 2. Ja jos se on pariton, me puolestaan tiedämme, ettei sen tekijänä voi olla lukua 2. Tämä on esimerkki eksaktista tekijöitä koskevasta tiedosta.

Meillä ei kuitenkaan ole kielessämme käsitteitä, joilla ilmaista suoraan jonkin luvun kolmella tai viidellä jaollisuutta. Juuri tällä tavoin kielelliset määritelmät vaikuttavat matemaatikkojen mielenliikkeisiin - vaikka he luulisivat, että matematiikan kieli ei olisi puolueellinen. Kyllä se on. Kakkosella jaollisille sanoille on termi, mutta muille ei. Tämä on eräänlaista lukurasismia ja ahdismielistä ajattelua.


Tekijämatriisi ja tekijöiden tanssiaskeleet

Matriisit muodostavat symmetrisiä ja kauniita kuvioita - mutta en valitettavasti osaa ohjelmoida ohjelmaa, joka piirtäisi niiden yhdistelmistä kauniita animaatioita tai fraktaaleja. Resurssien ja tilan puutteen vuoksi joudun tyytymään yksinkertaisiin tekijämatriiseihin. Kaksi helpointa ja eniten käyttämääni matriisia ovat 2 x 3 sekä 2 x 3 x 5. En kuitenkaan aio välttää runollisuutta niistä puhuessani.

Seuraavassa on piirrettynä Origo6, eli 2 x 3:

Origo6

(Jos kuva näyttää kököltä, se johtuu siitä, että se on tehty Paint-ohjelmalla.)

Tässä kuvassa näkyy sama matriisi itse asiassa kaksikin kertaa. Numero kolme ottaa tapansa mukaisesti askelia, joissa se hyppää kahden luvun yli, kakkonen pienemmillä jaloillaan yltää vain yhden parittoman luvun ylitse. Samassa ajassa kuitenkin kakkonen ottaa kolme nopeampaa alkelta ja se ehtii ruutuun 6 yhtä aikaa harppovan kolmosen kanssa. Tällä tavoin tekijöiden tanssi jatkuu hamaan äärettömyyteen asti: kolme lyhyttä askelta, kaksi pitkää...

Olen miettinyt millä nimellä kutsuisin kohtaa, jossa tekijät kohtaavat rinta rinnan ja tanssikuvio alkaa alusta. Pyörittelin mielessäni sellaisia uustermejä kuten "tekijäkonjunktio", "tekijäkonstellaatio" tai "matriisin nollakohta". Koska kyseessä todellakin oli näiden tekijöiden näkökulmasta "uusi nollakohta", aloin kutsua sitä Origoksi.


Originaali origo ja siirretty origo

Matriisi-skeeman näkökulmasta tarkasteltu lukujana alkaa Origosta. Matriisi myös loppuu origoon. Tämä voi olla aluksi hieman vaikea ymmärtää, mutta kaikki johtuu siitä, että olen määritellyt "liikkuvan origon" soveltamalla origonsiirtoa. Kun puhun tavallisesta origosta, tarkoitan nollaa. Kun puhun "siirretystä origosta", en tarkoita nollaa vaan matriisin alkupistettä - mutta vielä useammin sen loppupistettä - sillä usein käytännön syistä määritän alkupisteeksi nollan.

Nolla, eli normaalisti origoksi ymmärretty taulukon kohta, on kaikkien olemassa olevien matriisien nollakohta, äärettömyyksiin asti. Tämä johtuu siitä, että nolla sisältää kaikki tekijät. Kaikki alkuluvut voidaan kertoa nollalla ja niiden arvoksi tulee nolla. Niinpä mikä tahansa matriisi voidaan määrittää alkavaksi origosta.

Tämä ei kuitenkaan koske "siirrettyä origoa". Siihen kuuluvat tunnetut tekijät, jotka määritellään erikseen origon nimessä. Origo30 se simerkiksi sisältää tekijät 2 x 3 x 5. Se on siis sama kuin Origo60, sillä molemmilla on yhteiset tekijät - tosin luku 2 esiintyy jälkimmäisessä kaksi kerta. Samojen tekijöiden useita kertautumisia ei kuitenkaan tarvitse erikseen määritellä visuaalisessa esityksessä. Kuviosta Origo6 näemme, kuinka Matriisi 0 --> 6 on identtinen matriisin 6 --> 12 kanssa. Matriisien yksi etu on siinä, että kun tekijät hahmotetaan ruudukossa liikkuviksi pelinappuloiksi, niiden monikerrat ovat toissijaisia. Kun selitämme alkulukuja matriisien avulla, meidän tarvitsee tietää ainoastaan tekijät - ei niiden esiintymien määrää.

Matriisin nollakohtien kutsuminen origoksi on mielekästä myös siitä syystä, että kaikki matriisit ovat symmetrisiä. Ja kun sanon KAIKKI, tarkoitan kaikkia matriiseja, tunnettujen tekijöiden muodostamia sekä niitä, joita ei ole määritelty. Tämä tekee normaalien aritmeettisten funktioiden muodostamisesta vaikeaa tai jopa mahdotonta ja pakottaa meidät soveltamaan fraktaaleja. Mutta samaan aikaan tekijämatriisien symmetrisyys selittää Goldbachin konjenktuuria ja auttaa meitä näkemään sen ratkaisun.

KLIKKAA ISOMMAKSI:

Origo30 = 2 x 3 x 5

Tunnetuiksi tekijöiksi on määritelty kolme pienintä alkulukua, ja saman tien niiden alkuluku-ominaisuudet on tyystin unohdettu. Ne ovat nyt matriisin rakennuspalikoita ja niiden keskinäinen tanssikuvio on tiedossa nollasta äärettömään. Jokainen 30:llä jaollinen solmukohta sisältää nämä samat tekijät, eli ne ovat palanneet origoon, josta ne aloittavat uudelleen saman 30 ruutua kestävän askelsarjansa.

Jos kuvio tulostetaan ja paperi taitetaan luvun 15 kohdalta, molemmat puoliskot istuvat täydellisesti toisiinsa. Matriisit ovat toistuvia, mutta myös sisäisesti symmetrisiä.


Puuttuvat Legot

Alkulukujen on ajateltu olevan lukujen rakennuspalikoita. Niiden on myös uskottu muodostavan kuvioita. Nämä kumpikin oletukset ovat virheellisiä. Jos tekijät ovat risuaidan risuja - niin silloin alkuluvut ovat puolestaan aukkoja, joista tuuli puhaltaa lävitse.

Seuraavassa kuvassa olen yliviivannut matriisista kohdat, joihin tekijät astuvat matkallaan origosta origoon. Jäljelle jääneet luvut olet ympäröinyt (anteeksi eri värien sotku, mutta kuva on edelleenkin luotu Paint-ohjelmalla.)

KLIKKAA ISOMMAKSI.

Luku 1 on määritelty poikeustapaukseksi. Muuta luvut ovat 7, 11, 13, 19, 23 ja 29. Arvaa kuinka moni niistä on alkuluku? Joka ikinen, tietenkin.

Tätä tarkoitan sillä, kun väitän että alkulukuvut ja tekijät ovat eri asia. Ne kilpailevat keskenään elintilasta. Tekijät muodostavat toistuviaja symmetrisiä kuviota - ja alkuluvut puolestaan ovat kuviossa esiintyviä aukkokohtia. Kun tiedämme missä tekijät ovat, tiedämme sen jälkeen missä ovat alkuluvut.

Jos tekijät tunnetaan eksaktisti, tunnetaan myös alkuluvut... eksaktisti. Tämä on kaikki on itsestäänselvää arkijärjelle, mutta jos alkuluku ja tekijä määritellään samaksi olioksi, kieli estää meitä puhumasta asiasta.


Kuvio ja tausta

Kuvassa on yksi tunnetuimmista optisista illuusioita.

Voimme hahmottaa kuvassa joko maljakon tai kahdet kasvot, riippuen siitä, kumman hahmotamme kuvioksi ja kumman taustaksi - mustan vai valkoisen.

Alkulukuja on tähän asti tutkittu ikään kuin ne muodostaisivat kuvion. Matemaatikkosukupolvet toisensa jälkeen ovat rakennelleet funktioita ja algoritmejä, jotka noudattaisivat alkulukujen esiintymistiheyttä tai paljastaisivat seuraavan alkuluvun sijainnin. Jopa matemaattiset nerot ovat sinnikkäästi uskoneet, että alkuluvuilla täytyy olla jokin kaava - että ne muodostavat kuvion, jossa on järkeä ja jonk järkemme voi tavoittaa.

Alkulukuja on koko ajan tuijotettu kuin ne olisivat kuvio. Tämä on lähtökohtainen ajatusvirhe, sillä alkuluvut ovat tausta. Tekijät muodostavat kuvion ja alkuluvut ovat taustaa, joka paistaa läpi tuosta kuviosta.

Kysymys on nyt pitkälti siitä, miten suureksi me voimme laajentaa "tunnettujen" tekijöiden piirin. Toistaiseksi olen huomioinut vain muutaman tekijän. Mitä tapahtuu, kun yritämme muotoilla sääntöjä, joilla tunnettujen tekijöiden käyttäytyminen kyettäisiin ennustamaan äärettömyyteen asti? Voiko sitä tehdä silmät kiinni, ilman piirroksia tai taulukoita? Jos se on mahdollista, tarkoittaako se, että kaikki alkulukuja koskevat ongelmat on ratkaistu...

*

PS. Olen joutunut käyttämään muutamia oikopolkuja matkan varrella. Tarkoitukseni ei ole esimerkiksi väittää, että kaikki selittyisi "tunnetuilla" tekijöillä ja alkuluvuilla. On myös huomioitava muita tekijöitä, joita edellisessä kirjoituksessani jo esittelin mm. "varteenotettavana tekijänä". Esimerkiksi jos tutkimme Origo30:n jakautumista välillä 30 -> 60, emme enää löydä alkulukua jokaisesta matriisin aukkokohdasta. Olemme astuneet Origo210:n reviirille, eli luku 7 on muuttunut alkuluvusta tekijäksi. Etenkin on huomioitava kohta 7 x 7 = 49 - jossa seiska esiintyy ilman muiden tekijöiden läsnäoloa. Tämä ei ole mikään ongelma määritelmieni suhteen vaan yksi syy sille miksi alun perin olen luonut kyseiset erottelut.

PPS. Seuraavaksi tutkin alkulukupareja. Vasta niiden jälkeen aloitan varsinaisen Goldbachin hypoteesin käsittelemisen.

Sää

Nopeasti ajateltuna sää voi tuntua aika turhalta aiheelta, mutta sitä se ei ole. Sää on monellakin tavalla mitattuna tärkeä teema elämässä - ja sen arvo on hyvin tunnustettu suomalaisessa kulttuurissa.

Ensinnäkin Suomen myydyin kirja on monena vuonna peräkkäin ollut Sääpäiväkirja, jota 2012 myytiin huimaavat 176 000 kappaletta. Tästä seuraa, että sää on myös maamme tutkituin aihe, josta myös kirjoitetaan suurin määrä kirjallisia teoksia. Vaikka yli puolet ostetuista sää-kirjoista jäisi vajaaksi, valmistuu vuodessa kymmeniä tuhansia valmiita käsikirjoituksia, joissa puhutaan säästä.

Sääpäiväkirja on kirja, jonka teoriassa voisi julkaista useampaan otteeseen: ensin tyhjänä ja sitten täytettynä. Oletetaan vaikkapa, että Mannerheim olisi pitänyt sääkirjaa. Marskin sääkirja vuodelta 1939 tai 1944 voisi olla bestselleri. Myöskin joku runoilijamme, kuten vaikka Karri Kokko, saattaisi keksiä julkaista oma sääpäiväkirjansa, jolloin sitä juhlistettaisiin nokkeluuden huipentumana. Vielä nerokkaampaa olisi julkaista runokirja, jonka nimi harhaanjohtavasti olisi Marskin sääpäiväkirja 1918.

Tuomas tietää mikä Suomessa myy.

Miksi puhua säästä?

Isäni pitää sääpäiväkirjaa. Hän ei kuitenkaan näy edellä mainituissa myyntitilastoissa, sillä hän on ostanut Viiden Vuoden Sääpäiväkirjan. Se on myyntilistoilla Top-10:n ulkopuolella (joten siitä ei löydy minkäänlaista dataa, kuten yleensäkää kirjoista, jotka eivät ole kuumimmassa kärjessä).

Kun käyn kotiseudulla, puhumme isäni kanssa jonkun verran säästä. Emme ylettömästi, mutta sopivasti, kuten asiaan kuuluu. Uskon, että me molemmat ymmärrämme sää-etiketin kohtuullisen hyvin.

Säästä puhuminen ei ole mikään sovinnaistapa. Se ei ole small-talkia. Sää on vakava aihe. On tärkeää tietää säästä kaikki oleellinen, sillä se voi pelastaa henkesi - tai vähintään päiväsi.

Joku saattaisi väittää, että sää oli joskus tärkeä aihe, mutta ei ole enää. Mehän emme ole riippuvaisia oikea-aikaisesta kylvöstä tai sadonkorjuusta kuten muinoin. Marjat, sienet ja muut luonnon antimet ovat nykyihmiselle enintään kiva harrastus - sikäli kuin metsässä rämpimiselle jää aikaa ja viitsii sietää hirvikärpäsiä.

Google-haku sanalle "sää"

Säästä puhuminen on siis eräiden ylpeiden kaupunkilaisten mielestä pelkkä kivikautinen jäänne. Puhumme säästä, koska tapa sanelee tai koska meidät on säädetty sellaisiksi.

Ja kuitenkin väärin arvioitu säätila saattaa yhä edelleenkin kostautua. On paha virhe esimerkiksi pukeutua liian lämpimästi, koska työpäivän jälkeen olo on hikinen ja haiseva - ja jos jotain haluaa tehdä, täytyy käydä välissä kotona vaihtamassa vaatteet. Väärin arvioitu sää maksaa aikaa ja aika on rahaa. Saman ajan ja rahan voisi sijoittaa vaikkapa sääkirjan ostamiseen ja täyttämiseen.

Sään aliarvioiminen saattaa johtaa ihon palamiseen kesällä, kohmettumiseen talvella sekä kastumiseen ja siitä seuraavaan pahantuulisuuteen melkein minä vuodenaikana tahansa. Sään vaikutusta tunnelmaan aliarvioidaan aivan liian helposti. Sää voi sotkea melkein mitkä tahansa suunnitelmat, joten uusvanhat ja ikiviisaat ihmiset puhuvat säästä kunnioittavaan sävyyn.


Miksi puhua säästä niin paljon ja jatkuvasti?

Edes avaruudessa ei voi paeta säätä ja sen vaikutuksia. Sielläkin on meteoripilviä ja aurinkotuulia.

Ajankohtaisinta sää on tietenkin kesällä, kun on loma. Suomen kielessä on tuskin montaakaan sanaa, jotka herättäisivät sellaista kauhunsekaista valppautta kuin lomasää.

Juhannuksen alla säätiedotukset suorastaan räjähtävät silmille. On kolmen ja viiden päivän tai koko viikon mittaisia ennustuksia; siitepölytiedoituksia sekä karttoja, joista näkee tuulet ja merien tai järvivesien lämpötilan. Mökillä rukoillaan Ahtia tai Juha Föhriä, ettei vain tuuli kääntyisi ja puhaltaisi pois lämmintä pintavettä.

Ääni, joka radiossa julistaa merisäätä, kuulostaa arvokkaalta ja hartaalta kuin kyseessä olisi joulurauhan julistus tai jääkiekko-ottelun selostus.

Veljeni Eero mökkirannalla Saimaalla.

Juhannuksen sää

Säätä on vaikea ennustaa täsmällisesti. Se käyttäytyy mystisesti, joten siinä vaistotaan inhimillisyyttä. Alati juoniva Sää osaa kohdistaa oikkunsa juuri oikeaan hetkeen. Koko juhannusta edeltävän viikon on ollut leutoa, mutta juuri kun puutavara on soutuveneellä rahdattu mökkirannan edustalla olevalle luodolle, ja kokkoa aletaan pystyttää, alkaa tuulla niin perkeleesti ja sataa rakeita.

Viiden vuoden Sääpäiväkirja osoittaa tällöin tarpeellisuutensa. Okei, tämä juhannus on ehkä kylmä ja sateinen, mutta entäpäs neljä vuotta sitten, muistatkos? Silloin myrskysi niin, ettei koko luotoa edes näkynyt sateen lävitse ja laiturikin irtosi kiinnikkeistään.

Moni juhla ei ole sitä mitä ennen. Jouluna ei lapsenlapset käy kylässä - tai jos käyvätkin niin eivät koske kinkkuun kun ovat vegaaneja - tai porkkanalaatikkoon, koska karppaavat. Pääsiäisen alla kukaan ei paastoa, eikä vappuna teekkarit tee paljon muuta kuin pelaavat pleikkaria himassa. Laskiaispullatkin on nykyään leivottu Latviassa, mutta juhannus on sentään oikea juhla! Juhannuksen sää on takuuvarmasti sitä samaa paskaa mitä aina ennenkin - outo lämpötilan notkahdus keskellä kesää!

Johtuisikohan tämä kaikki siitä, että juhannuksen jumalat ovat ainoita, jotka yhä edelleenkin saavat säännölliset ihmisuhrinsa. Ruorijuopot ja pääedellähyppijät pitävät huolen, että yhtä pakana-aikaista sopimusta yhä kunnioitetaan. Jeesus unohtuu jouluna, mutta keskikesän juhlassa Näkki saa sille luvatut pehmeät paketit.


PS.  Vielä yksi syy miksi sää on niin mahtava asia. Kolmosella säätä juontaa se ihana punatukkainen tyttö, jolla on iloiset posket, isot tissit ja söpö possunenä. <3

Goldbachin hypoteesi, osa 2

Menen suoraan asiaan. Mitä eroa on "alkuluvuilla" ja "tekijöillä"?

Nämä ovat alkulukuja:

2, 3, 5, 7, 11, 13...

Ja nämä tekijöitä:

Asetan vielä joukon lukuja jonoon niin, että alkuluvut jäävät alapuolelle ja tekijät merkitään yläpuolelle:

Tässä ei ole vielä mitään uutta tai ihmeellistä. Samat luvut voivat olla sekä alkulukuja että tekijöitä.

Monimutkaisemmaksi asia muuttuu vasta silloin, kun mietitään miten alkuluvusta tulee tekijä. Ja kun alkuluvusta on tullut tekijä, mikä muuttuu?

Nämä ovat meta-matemaattisia, filosofisia kysymyksiä, joita en ole kuullut kenenkään esittävän. Tuskin monikaan matemaatikko edes huomaa tässä mitään aihetta lisäkysymyksille tai lisäselvityksille.


Lukuteorian paradigmanvaihdos

Alkulukuja on tutkittu iät ja ajat. Niihin liittyy valtavasti lukumystiikkaa ja ne kiehtovat matemaatikkoja, koska niistä ei löydetä pysyviä säännönmukaisuuksia - ja kuitenkin ne näyttäisivät noudattavan tiettyjä periaatteita. Niissä ikään kuin on joku sääntö - mutta se sääntö on hämärä ja maaginen.

TEKIJÄT sen sijaan - niistä ei kukaan ole kiinnostunut. Tekijät ovat piece of cake. Tuskin monikaan suuri matemaatikko on ansioitunut niiden tutkijana.

Ja tässä juuri onkin koko ongelman ydin. Alkuluvut kiinnostavat, mutta tekijöistä ei pidetä mitään lukua. Ja kuitenkin avain alkulujen arvoitukseen piilee juuri tekijöissä: alkulukujen ja tekijöiden välisessä suhteessa: vuorovaikutuksessa, yhteistyössä ja keskinäisessä kamppailussa.

Kun tiedämme miten tekijät toimivat ja missä ne sijaitsevat, me sen jälkeen tiedämme kaiken oleellisen myös alkuluvuista, entisista ja tulevista, helposti käsitettävistä ja käsittämättömän suurista. Oikullisesti käyttäytyvien numeroiden mystillisyys haihtuu.

Lukuteoriassa on tapahtunut kömmähdys, joka on kestänyt jo vuosisatoja. Se ei liity metodiin vaan semanttiseen määrittelyyn. Matemaatikkojen mielessä elää skeema, joka ohjaa alkulukuja tutkivan mielen harhapoluille.

Kielellisten määrittelyjen pohjalta matemaatikot olettavat, että alkuluvut ovat rakennuspalikoita ja muodostavat aritmeettisia rakenteita, jotka voidaan ilmaista funktiolla - kunhan oikea funktio vain löydetään. Alkuluvut eivät kuitenkaan ole rakennuspalikoita, tekijät ovat. Alkuluku on eri asia kuin "tekijä". Ne pitää ajatella eri asioiksi ja vasta sitten homma etenee.

Alkuluku ei ole sääntö, vaan se on poikkeus. Alkuluku on aukkokohta, ei rakennuspalikka. Tämän näkökulman oivaltaminen johtaa lukuteorian paradigmanvaihdokseen.


Semanttisia uudelleenmäärittelyjä

Kyse on semantiikasta, kielellisten käsitteiden määrittelystä. Viettoman tuntuiset mielikuvat saavat ongelmia pohtivan älykkään ihmisen kääntymään oikealle, kun pitäisi kääntyä vasemmalle. Ajattelussa ei tapahdu loogista virhettä, mutta monta ratkaisevaa yksityiskohtaa jää näkemättä.

Matemaatikot lähestyvät alkulukuja monimutkaisten funktioiden avulla. Esimerkiksi John Derbyshire, joka on kirjoittanut teoksen Alkulukujen lumoissa, on todellakin lumoutunut aiheesta. Hänen päänsä on pyörällä. Hän ei ymmärrä alkuluvuista enää hölkäsen pöläystä.

Ja nyt en tarkoita, ettei hän ymmärtäisi mitään matematiikasta. Hän tietää kyllä suuren määrän alkuluku-tutkimuksen tuloksia. Hän on tarkkaillut alkulukuja ja tietää niiden vaikutuksista - hieman kuten kemisti, joka tietää miten mikäkin aine reahoi toisen aineen kanssa - mutta hän ei ymmärrä alkulukuja. Ne ovat hänelle mysteeri.

Kyse on hieman samanlaisesta tilanteesta kuin painovoima fysiikassa. Kaikki kyllä tuntevat painovoiman vaikutuksia ja sitä voi tutkia empiirisesti - mutta kukaan ei osaa selittää miten painovoima toimii. Painovoima tunnetaan, mutta sitä ei ymmärretä. Sama juttu lukuteoriassa: alkuluvut tunnetaan, mutta niitä ei ymmärretä.

Väitän, että me voimme oppia ymmärtämään alkulukuja. Se on minun pitkän kirjoitussarjani päätarkoitus. Me alamme ymmärtää alkulukuja vasta sen jälkeen, kun opimme ymmärtämään tekijöitä. Se voi tuntua tylsältä, koska tekijät tunnetusti ovat tylsiä - mutta ei auta ruikuttaa.


Uudet Legot

Määtitelmiä riittää, sen voin luvata. Aluksi muutamia tekijöiden tyyppejä, mutta älkää säikähtäkö:

Tunnettu tekijä = Jäsen tekijämatriisin nollakohdassa. Tunnetut tekijät täytyy aina määritellä tilannekohtaisesti - mutta niiden säännönmukaisuudet voidaan ennustaa äärettömyyteen asti, vaikka niitä olisi määritelty kuinka suuri joukko tahansa. Kätevyyden ja ymmärrettävyyden takia tulen käyttämään matriiseja, joissa on vain 3-4 tunnettua tekijää.

Varteenotettava tekijä = suurempi tai yhtäsuuri kuin alkuluvun neliö / kääntäen: tutkittavan alueen neliöjuurta pienempi alkuluku, mutta suurempi kuin tunnetut tekijät. (Itse asiassa myöhemmin selitän miten varteenotettavat tekijät selittävät logaritmia alkulukulausekkeessa.)

Puuttuva tekijä = Uusi alkuluku. Tekijämatriisin aukkokohta, joka ei limity suuremman matriisin, eli varteenotettavien tekijöiden kanssa.

Tekijäkokelas = Alkuluvusta tulee varteenotettava tekijä, kun se on kohdannut kaikki itseään pienemmät alkuluvut ja kohtaa itsensä. Tämä tapahtuu aina kohdassa "alkuluku potenssiin kaksi".

Potenssin ja neliöjuuren toimiminen määriteltyjen termien rajakohtana on välttämätöntä, mihin palaan myöhemmin. Kun ymmärrämme syyn, ymmärrämme myös miksi alkulukulause turvautuu logaritmiin. Asiaa ei tarvitse matemaattisesti enää edes todistella, koska ymmärrämme sen semanttisesti - niin kuin ymmärrämme mansikan ja sitruunan välisen eron.

Kaikkia näitä käsitteitä ei tulla tarvitsemaan vielä, joten määrittelyistä ei kannata hämmentyä. Etenen hitaasti ja yritän muistaa kaiken oleellisen. Kuten aiemmin totesin, minun olisi pitänyt kirjoittaa näistä asioista jo vuosi sitten. Jotkin asiat ovat sen jälkeen hieman kirkastuneet, mutta toisten muistaminen taas vaatii suurempaa ponnistelua.


Esimerkkitutkimus tekijöistä

Asiat siis alkoivat valjeta, kun siirsin huomioni alkuluvuista tekijöihin. Suunnittelin lukuisia eri kokeita ja asetelmia tekijöitä koskevan tiedon lisäämiseksi. Suurin osa ei tietenkään johtanut mihinkään uuteen oivallukseen.

Suurin tekijöiden eroavaisuus alkulukuihin nähden on se, että tekijöistä voi löytää säännönmukaisuuksia, ja muotoilla yleistettäviä lakeja. Pelkästään tekijöitä tarkastelemalla voi hahmottaa monia hyvinkin kauniita kuvioita. Tekijät muodostavat lumihiutaleiden ja hämähäkinseitin kaltaisia rakenteita. Ne ovat nimensä mukaisesti kykeneviä insinöörityöhön ja uurastavat väsymättömästi - toisin kuin alkuluvut, joita ei millään saa liikkeelle. Alkuluvut pitävät taukoja milloin lystäävät ja sitten taas ryöppyävät ovesta sisään juuri kun niitä ei olisi kaivattu.

Monet tekijöitä koskevat havaintoni ovat Goldbachin hypoteesin näkökulmasta epäolellisia, ja toiset taas olisi mahdotonta esittää tässä käyttöjärjestelmässä. Seuraava esimerkki on valittu lähinnä käytännön syistä. Se ei ole juuri nyt oleellinen osana todistusta. Mielestäni se on kuitenkin yksinkertaisuudessaan kaunis, ja havainnollistaa tekijöiden säännönmukaisuutta suhteessa alkulukuihin.

Yllä on siis esitettynä lukujana "kaksi potenssiin n". Koska kyseessä on luvun kaksi moninkertaisesta tulosta, me voimme jakaa sen kahteen osaan - koska sen tekijänä on luku 2. Esimerkiksi, jos kyseinen luku 2ⁿ olisi 8 --> 2 x 2 x 2, (n = 3), sen puolessa välissä potenssin arvo olisi n-1, eli 2² = 4. Jos se jaettaisiin kahtia, saataisiin 2, sitten 1. Jos N olisi suurempi, lukujana jakautuisi tietenkin pienempiin osiin, jotka kaikki olisivat kahdella jaollisia kokonaislukuja. Tällä kertaa meitä ei kuitenkaan kiinnosta mikä arvo on luvulla N. Me tutkimme vain tekijöitä.

2ⁿ On sama asia kuin  2 x 2^n-1. tai 2 x 2 x 2^n-2... Tästä me voimmepäätellä, että janan puolivälin ja lopun välissä on  luku 3 x 2^n-2... ja tämä pätee kuinka suurilla N:n arvoilla hyvänsä. Olemme siis pysyvästi paikallistaneet myös toisen tekijän, luvun 3.

Voimme tehdä saman myös luvulle 5 - tai mille tahansa alkuluvulle, jonka haluamme paikallistaa. Vaikka emme tiedä luvun "kaksi potenssiin n" tarkkaa arvoa, me voimme paikallistaa siitä muutkin tekijät, myös ne jotka eivät sisälly varsinaiseen lukuun.

Kuten jo aiemmin sanoin, tekijöiden tunteminen on avain. Kun me tunnemme tekijät ja tiedämme miten ne käyttäytyvät, me voimme löytää myös alkuluvut!

PS. Ehkä jo huomasitkin, että yllä oleva kaavio muodostaa yksnkertaisen fraktaalin, eli loputtomasti itseään toistavan kuvion. Kuitenkaan tekijät eivät vielä yksinään muodosta kovin monimutkaisia ja koristeellisia fraktaaleja. Niitä syntyy vasta kun yhdistämme tekijät alkulukuihin, eli huomioimme tunnettujen tekijöiden ohella myös muut tekijätyypit.

PPS. Kyseinen kaavakuva ei ole "matriisi", joista oli puhetta aiempana. Seuraavassa osassa esittelen tekijämatriisin ja selitän miten sen avulla löydämme alkulukuja. Lisäksi selitän alkulukuparien käyttäytymistä.

Neljännessä osassa toivon mukaan ehtisin jo ensimmäiseen varsinaiseen todistukseen, jossa osoitan, että alkulukupareja todellakin on loputon määrä. Se on yksi ongelmista, joita kukaan matemaatikko ole vielä kyennyt todistamaan - vaikka tietenkin oletuksen pätevyydestä vallitsee hyvin vahva yleinen arvio.

KISAVITUTUS

Jääkiekon nykytila heijastaa niitä ongelmia, jotka viime vuosina ovat nousseet esiin koko suomalaisessa yhteiskunnassa. Kisat ovat enää osa harvojen ja valittujen "hyvinvointia". Liput katsomoon maksavat pöyristyttävät 165 euroa - ja televisiostakin ne näkee vain maksukanavilta (Canal-plus). Erityisen surullista tästä tekee jääkiekon symbolinen merkitys maamme lähihistoriassa.

1970 ja -80-luvuilla jääkiekko oli poliittisesta näkökulmasta tarkasteltuna ehkä läntisen maailman tärkein laji. Vuosittain MM-kisat yhdistivät idän ja lännen. Kylmässä kaukalossa kaksi toisilleen kylmää maailmaa kohtasivat rauhanomaisen kamppailun merkeissä. Kun muistelen omaa lapsuuttani 80-luvulla, muistan ensimmäiseksi nämä asiat: Kekkosen kuolema, Keke Rosberg, Dingon Autiotalo - sekä Punakone.

Myös Tshernobyl kuulemma räjähti 1986, mutta muistikuvani siitä ovat hämärät. Paremmin muistan samalta vuodelta Diego Maradonan "jumalan käden". Luulen, että Tshernobyl-uutisointi jäi sen varjoon.


Kaukalossa Kylmä sota

Jääkiekon poliittisesta merkityksestä kertoo paljon se, missä sitä eniten seurattiin ja harrastettiin. Kaksi mahtimaata olivat tietenkin Neuvostoliitto sekä Kanada - mutta on tuskin historiallinen sattuma, että juuri Suomi ja Tsekkoslovakia tahtoivat menestyä lajissa. Molemmat olivat rajavaltioita kylmässä sodassa ja kun itä ja länsi kohtasivat, pelissä oli paljon muutakin kuin kuminen lätkä.

Katsotaan esimerkiksi missä pelejä on pelattu: Sveitsi (Bern, Zyrich, Geneve) ja Ruotsi (Tukholma) - sotien "puolueettomat" maat. Rajalla jaettu Saksa sekä Helsinki, Praha - kisapaikkana samoja kaupunkeja, jotka toistuvat ETYK-kokouksissa ja muissa poliittisissa neuvotteluissa. Jääkiekkoa käytännössä pelattiin siellä, missä poliittisten päättäjien oli muutenkin kätevintä kohdata: rajalla tai puolueettomissa maissa.

Neuvostoliitossa jääkiekon poliittinen merkitys tiedostettiin. Joukkueen menestyksen haluttiin olevan viesti taloudellisen järjestelmän toimivuudesta. Muutaman vuosikymmenen ajan jääkiekko oli ideologista mittelöä: toisaalta vastakkainasettelun ja toisaalta kansojen rauhallisen yhteiselon symboli - ja monien mielessä ehkä ainoa asia, jonka uskottiin estävän 3. Maailmansodan syttymisen. Samalla kisat toimivat kätevänä vuosittaisena kohtaamispaikkana arvovaltaisille henkilöille.


Lajin myöhempi historia

Neuvostoliitolle Punakone oli kuin Sputnik II. Tsekissä puolestaan juhlittiin Punakoneen nujertamista kuin se olisi kerralla hyvittänyt kaikki Prahan kevään (1968) tapahtumat. Suomessa Jari Kurrin NHL-menestys nähtiin merkkinä siitä, että Suomi kuului länteen.

Viimeisenä sovittelevana tekonaan ennen hajoamistaan Neuvostoliitto hävisi tahallaan Calgaryn Olympialaisissa (1988) viimeisen pelinsä Suomelle ja lahjoitti maallemme sen ensimmäisen arvokisamitalin. Se oli kuin kuolevan jättiäisen nyökkäys: "Olkaa hyvä, Viipuria ette saa, mutta tässä kimpale hopeaa."

Kylmä sota päättyi, mutta jääkiekko säilytti asemansa Suomen historiassa. 90-luvun syvä lama päättyi kuin taikaiskusta sillä hetkellä, kun Tupu, Hupu ja Lupu kävivät noutamassa Tukholmasta ensimmäisen kultaisen mitalin. Nyt lajin symbolinen merkitys oli siinä, kuinka se vaikeana hetkenä yhdisti kansan. Kansallistunnetta lisäsi se, että voitto tapahtui juuri Ruotsissa - entisen hallitsijan maaperällä.

Tämän jälkeen jääkiekkoon kiteytyi vähintään yhtä paljon isänmaallista eetosta kuin saunaan, ruisleipään ja Sisu-pastilleihin yhteenlaskettuna. Ei ollut lähellä, ettei saavutusta olisi lööpeissä verrattu Talvisotaan. Jääkiekko oli yhtä kuin itsenäisyys, yhtä kuin eheys ja yhtä kuin pohjoismainen sosiaalidemokratia: idän ja lännen parhaat puolet samassa paketissa.

Mutta mitä jääkiekko merkitsee tänään, reilut 20 vuotta Berliinin muurin murtumisen jälkeen?


Vitunvitunvitun vittu!

Mitä jääkiekko merkitsee vuonna 2012? Vastauksen voi antaa yhdelä sanalla: rahastusta.

Jääkiekko on ylemmän keskiluokan kallista hupia. Turha enää puhua lajin kansaa yhdistävästä voimasta tai symbolisesta merkityksestä, kun puolet suomalaisista eivät edes voi seurata kisoja. Miten joku kehtaa edes väittää, että tämä on parhaaksi lajin tulevaisuudelle, kun siltä riistetään puolet sen yleisöstä - sekä mitätöidään historiallinen ja kansallinen merkitys?

Jos perheenisä tahtoo viedä kolme lastaan katsomaan edes yhden pelin, hänen täytyy olla valmis maksamaan siitä ilosta ainakin 600 euroa. Jos eläkeläinen, joka on katsonut kotisohvaltaan kaikki pelit viimeisten 40 vuoden ajalta, haluaa nähdä kaikki pelit, hänen kannattaa hankkia Canal-plus.

Helsingin kisapaikka 2012

Lippujen hinnat eivät ole ainoastaan kalliita - ne ovat aivan helvetin kalliita! Jokunen vuosi sitten kävin itse Hartwall-arenalla katsomassa Suomen ja Ruotsin välisen World Cup -pelin. Se tuntui silloin kalliilta, mutta olin valmis maksamaan, koska World Cup järjestetään harvoin ja mukana ovat parhaat pelaajat. Liput maksoivat silloin 80 euroa - tosin aika hyviltä paikoilta.

Tänä vuonna halvimmat liput MM-kisoihin ovat tuohon verrattuna kaksinkertaiset... ja kuitenkin MM.kisat pelataan joka vuosi, joten miksi ihmeessä siitä tulisi niin vauhkoontua? Minua vain raivostuttaa, kun mietin niitä tuhansia vanhempia, jotka ovat luvanneet viedä lapsensa kisoihin, ja tahtovat pitää lupauksensa vielä senkin jälkeen kun lippujen hinnat julkistettiin.

Vertailun vuoksi: Liput SM-liigan finaaliin Jyp vs. Pelicans maksoivat 25-37 euroa. Yhden alkusarjan MM-kisalipun hinnalla maksaisi 6 ihmistä SM-finaaliin, siis KUUSI, koko perheen ja koiran tai jopa kaksi perhettä.


Perkele minkä tekivät!

Mutta vielä enemmän minua vituttaa televisio-oikeuksien myyminen maksukanaville. Jääkiekko on merkinnyt koko kansan yhdistymistä Leijona-lipun alle - vaan eipä merkitse enää. Mikä enää on estämässä luokkayhteiskunnan lopullista syntymistä tai sisällissodan syttymistä? Mitä suomalaisuus enää merkitsee suomalaiselle köyhälle? Mitä suomalaisuus merkitsee maaseudulla, lakkautettavissa tai pakkoliitetyissä kunnissa, joissa lähimpään Sportti-baariin on 30 kilometriä?

Entä kuka viitsii lähteä torille juhlimaan? Voiton jännitys syntyy siitä, että on katsonut kaikki ottelut, nähnyt joukkueen taistelevan ja kasvana, oppinut tunnistamaan selkään piirretyn numeron. Kun kisoja ei voi katsoa kotona, useimmat eivät katso. He näkevät enintään ratkaisupelit, jos viitsivät lähteä baariin tai tuntevat kaverin, jolla kanava näkyy.

Valtioneuvoston suosituksesta MTV3 näyttää sentään muutaman Suomen pelin, mutta meille tosiuskovaisille Kisoissa on kyse kokonaisesta eepoksesta, ei vain valituista paloista. Voi tietenkin olla, että valtioneuvosto on tällä päätöksellä onnistunut pelaamaan sisällissodan alkuhetkelle hieman lisäaikaa.

Sosiaalidemokratian lippulaivalle, Yleisradiolle on jäänyt luu käteen. Formulat lähtivät, nyt jääkiekko. Hiihtoa ja mäkihyppyä ehkä näkee televisiosta, mutta niissä suomalaiset eivät enää kamppaile mitalisijoista. Päättäjät eivät edes tajua missä mennään, tai eivät välitä. Kalervo Kummola on kirjaimellisesti myynyt maansa. Kuinka ne edes kehtaavat enää soittaa kansallislaulua jäällä, kun kansa ei ole läsnä?

Kansalta on evätty pääsy rituaaliin, joka merkitsee sille enmmän kuin joulurauhanjulistus tai Presidentin uudenvuodenpuhe. Saman tien olisivat voineet julistaa pääsiäisen tai äitienpäivän maksulliseksi! Historia on raiskattu. Jos Gorbatšov olisi kuollut, hän varmasti kierisi haudassaan!

Leijona kerjuulla.

Suomen lippu ei ole enää aikoihin merkinnyt juuri mitään, mutta nyt Kummola on pyyhkinyt perseensä myös Leijona-lipulla. Kumpi näistä symboleista on painoarvoltaan suurempi? Katsotaan vain mitä nationalistit riiputtavat kaulassaan tai tatuoivat ihoonsa. Entä mitä viinaa deekut ostavat asioidessaan Alkossa. Vastaus kuuluu: Leijona. Leijona. Leijona.

Ennen oli Kekkonen, Kekkonen, Kekkonen...

Sitten raikui Kurri, Selänne, Granlund...

Nyt on jäljellä vain kisavitutus!

Goldbachin hypoteesi, osa 1

Alan nyt vihdoin käsitellä Goldbachin hypoteesia. Minun olisi varmaan pitänyt tehdä tämä jo yli vuosi sitten, mutta on ollut tähdellisempääkin tekemistä. Aion siis esitellä todistuksen kuuluisasta matemaattisesta pulmasta - tai oikeastaan kyseessä ei ole todistamisesta vaan pyrkimyksestä lisätä ymmärrystä. Ongelma ratkeaa kun ymmärrämme sen oikealta kantilta.

Aluksi tahdon selventää, etten ole matemaatikko. Olen kielentutkija ja runoilija. Myös matematiikka on kieli ja ehkä juuri siksi olen oikea henkilö. Matematiikka koostuu ihmisten määrittelemistä käsitetyökaluista ja käsitteellisistä erotteluista.

Suhtaudun matematiikkaan intohimoisesti. Isäni on matematiikanopettaja ja myös omat matematiikan numeroni olivat kymppejä niin kauan kuin minua kiinnosti aineen opiskelu. Jossain vaiheessa se vain lakkasi kiinnostamasta, ehkä juuri siksi, että isäni on kulkenut sen tien ja halusin tehdä jotain muuta.

Minua ovat aina kiinnostaneet pulmat ja suuret älylliset haasteet. Goldbachin hypoteesin kohdalla etenin paljon nopeampaa kuin edes osasin odottaa. Syy on todennäköisesti juuri se, etten ole moneen vuoteen ollut matematiikan kanssa tekemisissä. Minua eivät sitoneet samat käsitteelliset rajoitukset jotka koskevat niitä, jotka ajattelevat matematiikan kielellä. Olen voinut käyttää laajempaa luovuutta.

Tämä on vasta johdanto kirjoitussarjaan, jolla tulee olemaan ainakin 5-6 osaa. Tarvitsen paljon aikaa ja kärsivällisyyttä, jotta ehdin esitellä kaikki osatodistukset. Matkan varrella käsittelen myös muutamia muita alkulukujen "ratkaisemattomia" ongelmia, kuten esimerkiksi alkulukupareja.


Vuonna 2010

Pohdin ongelmaa ensin itsenäisesti muutamia viikkoja ja luin sitten tarjolla olevaa kirjallisuutta, esim: John Derbyshire: Alkulukujen lumoissa; Apostolos Dixiadis: Petros-setä ja Goldbachin hypoteesi. Tutkin myös muutamia internetin sivustoja joilla alkuluvuista oli keskusteltu ja esitelty todistuksia.

Havaitsin heti muutamia ongelmia esitetyissä metodeissa. Ensinnäkin minua ällistytti takertuminen alkulukulauseeseen. Olin itse havainnut, että logaritmit olivat hyödyllinen tapa selittää osa alkulukujen ilmiöstä, mutta en olisi koskaan perustanut mitään yksin niiden varaan. Näin mistä ne tulivat ja näin myös niiden olevan vain yksi osa kuviota. Logaritmien merkitys kyllä korostuu lukujen suurentuessa, mutta vastausten etäisyys todellisuudesta jää silti huomattavaksi: virhemarginaali on muistaakseni noin 2% - huomattava poikkeama, jota ei koskaan suvaittaisi esimerkiksi fysiikassa.

(Selitän kolmannessa tai neljännessä osassa mistä logaritmi tulee yhtälöön. Pyrin tekemään sen niin että arkijärjelläkin asian ymmärtää.)

Tässä kohtaa varmaan olisi paikallaan Goldbachin hypoteesin tai konjenktuurin esittely. Kyseessä on siis havainto, että kaikki parilliset luvut voidaan esittää kahden alkuluvun summana. Alkuluvut puolestaan ovat lukuja, joita ei voi esittää kahden kokonaisluvun tulona. (Luku 1 on poikkeus, joten se on suljettu määritelmän ulkopuolelle.)

Ei kuulosta kovin hankalalta. Sitä se ei olekaan, ainakin jos vertaa Riemannin hypioteesiin, jonka selittämistä en tässä edes uskaltaisi yrittää. Sitä koskevasta tenttivastauksesta voisin hyvällä tuurilla saada yhden pisteen. Riemannin hypoteesia onkin kutsuttu tärkeimmäksi ratkaisemattomaksi ongelmaksi, kun puolestaan Goldbach on Most Wanted-listalla vasta sijalla 20-30.

(Herra Riemann on matematiikan Osama Bin Laden. Löytäjälle on luvassa riihikuivaa rahaa, elävänä tai kuolleena. Myös Goldbachin hypoteesin ratkaisusta on aiemmin luvattu 2 miljoonaa dollaria, mutta se oli rohkea markkinointitemppu, jonka dealine on jo päättynyt.)

Oma muotoiluni Goldbacin hypoteesista tulee olemaan niin moniosainen, että tarvitsen apua sen kokoamisessa. Fieldsin mitalista on tarjolla enintään siivu, jos sitäkään. Ketä edes kiinnostaa joku Goldbachin konjenktuuri, muuten kuin triviana? Tavallaan olisi tylsää köyhdyttää ratkaisemattomien ongelmien listaa. Pitäähän tuleville sukupolvillekin jättää jotakin...


Ratkaisun alkutaival

Havaitsin siis alkulukuja koskevissa aiemmissa tutkimuksissa ja esittelyissä käsitteellisiä määrittelyjä, jotka mielestäni rajoittivat ajattelua. Alkulukulauseeseen turvautuminen oli vain yksi osa paljon suurempaa ajattelun kehystä, jonka kaikki olivat sisäistäneet kritiikittömästi.

Muutaman uudellenmääritteln jälkeen pääsin toden teolla vauhtiin - ja nyt on siis syytä huomata, etteivät määrittelyni koske matematiikan lakeja tai lukuja sinänsä, ainoastaan inhimillistä kieltä, jota käytetään kun niistä puhutaan.

Yksi tärkeimmistä uudelleenmäärittelyistä oli se, että annoin käsitteille tekijä ja alkuluku toisistaan poikkeavan merkityksen. Yleensähän nämä mielletään synonyymeiksi - mutta miksi edes tarvitaan kaksi sanaa, jos niillä ei tarkoiteta kahta eri asiaa?!

Tutkin "tekijöitä" erikseen - ja tutkin "alkulukuja" erikseen - ja huomasin, että toden totta, olin löytänyt kaksi elementtiä, jotka käyttäytyivät eri tavoin. Pystyin muotoilemaan tekijöistä sääntöjä, jotka olivat kaiken aikaa olleet silmiemme edessä, mutta niitä ei oltu huomattu, koska katse oli kiinnittynyt alkulukuihin.

Lopulta pystyin jopa purkamaan alkuluvut tekijöihinsä - mikä kuulostaa täysin järjettömältä, sikäli kuin ymmärtää yhtään mitään matematiikasta - mutta kunhan selitän asian, ei siinä sittenkään ole mitään järjelle vierasta. Kyse on vain puhetavoista, inhimillisestä kielestä ja sosiaalisista tottumuksista.

Myöhemmin esittelen myös muita käsite-erotteluja sekä joukon uusia termejä. Ne ovat työvälineitä, joilla alkulukuihin pystyy pureutumaan ilman vaivalloista ja mahdotonta aritmetiikan tai geometrian yhteensovittamista. Jossain vaiheessa kirjoitin 60 sivua aiheesta "miksi aritmetiikka ja geometria täytyy pitää vähintään kahden metrin etäisyydellä alkuluvuista". Saattaa olla, että päädyn jaarittelemaan tällaisista metamatemaattisista seikoista vielä tulevaisuudessa, sillä on kiehtovaa selittää miksi aiemmat yritykset ratkaista Goldbachin hypoteesi ovat epäonnistuneet - melkeinpä kiehtovampaa kuin selittää miksi hypoteesi on pätevä.

Ja pätevä se tosiaankin on - mutta ei ehkä niistä syistä joista me luulisimme sen olevan - tai mistä minä tiedän mistä sinun intuitiosi sanoo asiasta.

Olen siis hylännyt geometrian ja aritmetiikan - kuten myös niiden yhdistelmän, eli korkeamman asteen yhtälöt - ja käytän apuna lähinnä erilaisia peliteorioita sekä fraktaaleja. Tärkein apuvälineen on kuitenkin kieli.

Tällä hetkellä työtäni rajoittaa eniten se, etten osaa tehdä hienoja graafisia esityksiä, enkä myöskään ohjelmoida koodia, joka muuntaisi ajatukseni visuaaliseksi dataksi. Tärkein apuvalineeni on ollut ruutuvihko, mistä syystä menetelmiäni voi hyvästä syystä kutsua alkeellisiksi. Lopputulemana ei ainakaan vielä ole maagista kaavaa, joka selittäisi kaiken - mutta kylläkin käsitteitä, jotka toivon mukaan helpottavat alkulukujen ilmiöiden ymmärtämistä.

Seuraavassa osassa paljastan mitä eroa on "alkuluvulla" ja "tekijällä". Tarkastelen alkulukujen muodostamia aukkoja sekä tekijöiden tanssiaskelia.