Alkulukuparit 1/3

GOLDBACHIN HYPOTEESI, OSA 4/9

Kautta aikojen on tiedetty, että alkuluvut monesti esiintyvät pareittain. Luultavasti matematiikan suuret nerot, kuten Eukleides ja Erastothenes (300ekr.), Fibonazzi (1200-luku), Fermat (1600-luku) tai Gauss (1800-luku) ovat ainakin osapuilleen hahmottaneet mistä tämä johtuu, mutta nykyään useimmat alkuluku-fanaatikot näyttävät oleva täysin tietämättömiä syistä. Yksi alkulukujen mystillistä vetovoimaa lisäävä seikka ovat alkulukuparit - vaikka niissä ei ole yhtikäs mitään outoa.

Olen etsinyt netistä sivustoa, jolla alkulukuparien käyttäytymistä selitettäisiin yksinkertaisesti, mutta en ole löytänyt sellaista. Monessakin paikassa asioita toitotetaan, mutta havaittuja ilmiöitä ei ymmärretä. Jälleen kerran palaamme siihen ongelmaan, joka syntyy, kun tekijät ja alkuluvut määritellään samaksi asiaksi ja alkulukujen oletetaan olevan rakennuspalikoita ja muodostavan kuvioita.

Kreikkalaisen Apostolos Doxiadisin romaanissa Petros-setä ja Goldbachin hypoteesi esitetään alkuluvut sietämättömänä paradoksina, joka härnää suurten matemaatikoiden älyä selittämättömyydellään. Kirjan Petros-setä on pakkomielteisesti kiinnostunut alkuluvuista ja hän selittää ahdistustaan näin (s. 78):

”Koska alkuluvut ovat kokonaislukujen rakennuspalikoita, ja kokonaisluvut perusta maailmankaikkeuden loogiselle ymmärtämiselle, niin mikset niitä hallinnut mikään lainmukaisuus? Miksi niissä ei ilmennyt mitään ’jumalaista geometriaa’?”

Alkuluvut ymmärretään "rakennuspalikoiksi" ja niiden jakautumaa tuijotetaan kuin odottaen, että toistuva kuvio vain ilmaantuisi ajan pitkää. Myös geometriasta puhuminen on järjetöntä, sillä geometria ja alkuluvut hylkivät toisiaan kuin vesi ja öljy.


Rumat Lego-palikat

Otetaan esimerkiksi vaikka kolmio, geometrian perusta. Tiedämme, että tietyn kolmion sivujen pituudet ovat X, Y ja Z, joista X ja Y ovat alkulukuja.

Jos nyt muutamme kolmion mittayksikköjä siten, että sivut ovat 2X, 2Y ja 2Z, tapahtuu kummia. Ensinnäkään kolmiolle ei tapahdu yhtään mitään. Se on ihan sama olio riippumatta siitä, ovatko sen sivut alkulukuja vai ei. Voimme muuntaa sivut tuumiksi tai peninkulmiksi tai miksi tahansa, kunhan niiden keskinäinen suhde säilyy samana. Geometrian näkökulmasta kolmiossa ei tapahdu mitään muutosta, vaikka sen sivut lakkaisivatkin olemasta alkulukuja.

Geometriassa on kyse suhteista, kun taas alkuluvut ovat pseudo-aritmeettisia olioita. Ne eivät ole edes aritmeettisia olioita, sillä niitä ei voi mitenkään ilmaista aritmeettisilla metodeilla - esimerkiksi jonkinlaisena funktiona tai loogisena lukusuorana. Alkuluvut ovat tekijöiden toiminnan sivutuote ja tekijöitä me kyllä pystymme tutkimaan aritmeettisesti.

Tietenkin voisi väittää, että alkuluvut ovat "geometrisesti mielenkiintoisia" siksi, ettei niitä voi esittää kokonaislukuina tasossa tai kuutiona. Ne ovat siis yksiulotteisia olentoja tai muotopuolia lego-palikoita.

Paint-mestariteos: "Mutantti-Legot"

On kuitenkin osattava tehdä tietty ero mielenkiintoiselle ajatusleikille ja umpikujalle. Useimmat alkulukujen jännittävät piirteet eivät johda mihinkään - minkä historia on osoittanut. Näitä tutkimuksellisia umpikujia myös Doxiadis esittelee, mutta hän ei löydä parempia lähestymistapoja juuri siksi, että hän on liian viehättynyt lukumystiikkaan. Hän tuijottaa alkulukuja kuin ne olisivat jotain kemian alkuaineita (huomaa sanojen yhdenmukaisuus suomen kielessä). Myös niiden tulisi siis muodostaa jonkinlainen jaksollinen järjestelmä.

Toki Petros-setä on vain kaunokirjallinen teos, eikä mikään väitöskirja, mutta psykologinen perspektiiviharha ulottuu myös vakavan tieteen alueelle.

Seuraksena on, että alkulukupareista löytyy valtava määrä monimutkaisia teoreemia, joissa niitä ennustetaan ja todistellaan ilman perustason ymmärrystä. Voi tietenkin olla, että hyvinkin moni matemaatikko on jo itse mielessään hahmottanut asioiden laidan, mutta ei ole jaksanut julkaista ajatuksiaan - siinä oletuksessa, että kyllä Fermat'n päiväkirjoista löytyy jostain sama selitys, joten miksi vaivautua. Eihän siinä ole mitään kunniaa, että selittää lapsille itsestäänselvyyksiä. Nyt aion kuitenkin selittää itsestäänselvyyksiä - ja ne lapset ovat yliopistotason harrastelijoita - tosin useimmat ammattitutkijat taitavat olla kyllin fiksuja pysyäkseen kaukana alkuluvuista.


Matriisi jossa elämme

Tärkein työvälineemme tulee olemaan tekijämatriisi. Tässä vaiheessa voisi olla hyvä kysyä, mitä mieltä on siiinä, että opettelemme soveltamaan jotain ihmeen ruutupaperille piirrettyjä taulukoita?

Vastaus: Me jo päivittäin käytämme erästä tekijämatriisia, emme vain tiedosta sitä. Tuo matriisi on nimeltään kymmenjärjestelmä, ja sitä voisi kutsua myös nimellä Origo10. Osaamme hyödyntää sitä monin tavoin ajattelussamme.

Kymmenjärjestelmä on helppo analyyttisesti palauttaa matriisiksi, eli tuoda näkyviin sen tekijät.

Origo10

Jokainen matriisi antaa meille jotain apriorista tietoa alkuluvuista. Tämän matriisin sisäistettyämme me esimerkiksi tiedämme, että luku, joka päättyy nollaan tai viitoseen ei voi olla alkuluku. Kymmenjärjestelmä ei siis ainoastaan ole vain merkkijärjestelmä - se on myöskin skeema, joka opastaa ajatteluamme.

Jos käyttäisimme kymmenjärjestelmän sijasta 12-järjestelmää, voisi myös 5:een päätyvä luku olla alkuluku. Esimerkiksi kaksitoistajärjestelmään kirjoitettuna 15 (yksi, viisi) olisi alkuluku: täysi tusina + viisi, eli 1 x (12 potenssiin 1) + 5 = 17.

Luvuilla "kymmenen" ja "yksitoista" täytyisi tietenkin olla oma symboli, jotta edes voisimme merkitä tämän järjestelmän lukuja. Jos joku tuntee sellaisia symboja niin vinkatkaa! Jos lukuteoria ei jo käytä 10-järjestelmän ulkopuolisia lukuja niin sellaisia täytyisi kehittää. Merkintä 10 tarkoitaisi 12-järjestelmässä tietenkin tusinaa.

Vielä vieraammalta tuntuisi 15-järjestelmä, eli matriisi 3 x 5, origo15. Nyt jopa luvut, jotka päättyvät 2, 4 tai 8 voivat olla alkulukuja! - mutta vastaavasti 3, 6 ja 9 loppuiset eivät koskaan.

15 + 2 = alkuluku
15 + 4 = alkuluku
15 + 8 = alkuluku
 
3x15 + 2 = alkuluku
3x15 + 4 = ei alkuluku (7x7)
3x15 + 8 = alkuluku

15 + 3 = ei alkuluku (3x6) --> 15n + 3 = ei koskaan
15 + 6 = ei alkuluku (3x7) --> 15n + 6 = ei koskaan
15 + 9 = ei alkuluku (4x6) --> 15n + 9 = ei koskaan

Mitä useampia matriiseja me tunnemme, sitä paremmin intuitiomme osaa tunnistaa alkulukuja.


Uneksivatko tekijät loikkivista lampaista?

Leikitään hetki ruutupaperilla, johon on kuviteltu lukujono ja sen luvut on purettu tekijöiksi. Pienimmätkin tekijät etenevät pelilaudalla (eli lukujanalla) hyppimällä ruutujen ylitse - ja mitä suuremmista tekijöistä on kyse, sitä pidempiä harppauksia ne ottavat.

Kun usampi tekijä kohtaa samassa ruudussa - ja varsinkin kun ne ovat saapuneet matriisin nollakohtaan - ne ottavat yhdenaikaisen loikan. Tällöin ruudussa, jonka ne ylittävät on usein alkuluku.

Kohtaamispaikka 42 ja loikka "43"

Valitsin luvun 42, koska tiesin, että siinä on tekijänä 7 - ja itse asiassa se on pienin luku, jossa 7 on tekijänä kahden muun tekijän kanssa: 2 x 3 x 7.

Kuvasta näemme kuinka 7 hyppää lukuun 49 ja myös tekijät 2 sekä 3 ottavat itsensä pituisen askelen. Jotta tietäisimme missä tekijä 5 seikkailee, olen merkinnyt sen lukujanan alapuolelle.

Voimme nyt turvallisesti veikata, että luku 43 on alkuluku. Kaikki mainitut ja merkityt (siis tunnetut) tekijät harppovat sen ylitse. Me emme tietenkään näe kaaviosta kaikkia tekijöitä. Esimerkiksi naapurilla 44 on tekijänä alkuluku 11 (2 x 2 x 11). Tässä vaiheessa liikkeellä ovat myös alkuluvut 13, 17, 19, 23, 29 ja 37.

43 on kuitenkin alkuluku. Kaikki harppovat sen ylitse. Mitä isompi alkuluku, sen pidempi askel - ja sitä vähemmän vaaraa tutkimuksillemme. JOTTA NÄISSÄ TUTKIMUKSISSA KUITENKAAN OLISI MITÄÄN JÄRKEÄ, MEIDÄN TÄYTYY JOSSAIN VAIHEESSA SAADA SELVILLE AIVAN KAIKKIEN TEKIJÖIDEN SIJAINTI. Ei huolta, me pääsemme kyllä siihen osoitettuani muutaman yksinkertaisen säännön, jotka pätevät poikkeuksetta.

Mutta nyt takaisin alkulukupareihin.


Alkuluvut astuvat maailmaan kaksosina

Tarkastellaan lukua 42 sekä sen tekijöitä hieman laajemmasta perspektiivistä.

KLIKKAA ISOMMAKSI.

Alkulukupari 41 & 43

Kyseessä on siis matriisin 2 x 3 x 7 nollakohta. Ja matriiseista tiedämme sen, että ne ovat aina symmetrisiä. Niinpä myös tämän nollakohdan kääntöpuolelta löytyy toinen alkuluku: 41.

Alkulukujen pariutuminen ei ole mysteeri. Kun tunnistamme matriisin symmetrian, siinä ei ole mitään outoa. Pariutuminen on ilmiö, joka voidaan selittää auki, todistaa, perustella monin tavoin - ja ennen kaikkea ymmärtää. Toistaiseksi tähän ymmärtämiseen ei ole lukuteoriassa juurikaan panostettu. Itse asiassa voin muutaman esimerkin avulla todistaa tämän ymmärryksen historiallisen niukkuuden.


Hullunkuriset historialliset funktiot

Fermat ja monet muut matemaatikot ovat väsänneet alkulukuja tuottavia funktioita, joissa lähes poikkeuksetta kerrotaan keskenään alkulukuja ja tuloon lisätään +1. Näin löytyykin huomattavan helposti alkulukuja, koska tekijät on niputettu samaan ruutuun ja seuraava luku kohtuullisella todennäköisyydellä on alkuluku.

Nämä suuret matemaatikot eivät kuitenkaan hoksanneet, että sama funktio voisi löytää alkulukuja myös silloin, kun sen jakojäännös on -1. Myös edellisessä ruudussa on todennäköisesti tekijöistä vapaa palsta. Tämä vihjaa, etteivät kyseiset ajattelijat ole olleet ihan kartalla - tai ainakin heitä popularisoineet opettajat ovat yksinkertaistanet tarinaa.

Myös käänteisiä tarinoita löytyy. Fermat'n aikalainen Marin Mersenne esimerkiksi jumiutui lukuun -1. Mersennen alkuluvulut ovat muotoa "2 potenssiin p miinus 1".

Itse asiassa herrat tunsivat toisensa ja sopivat kirjeitse, että" keskity sinä nähin +1 juttuihin niin minä tutkin näitä -1 ilmiöitä". Ja ei, nyt en ollenkaan pilaile. Näin matemaattisesti suuntautuneet hemulit todellakin toimivat, jotta heidän välilleen ei syntyisi riitaa.

Funktioita kroonisesti (tai maanisesti) hyödyntävät matemaatikot tuijottavat alkulukuja kuin ne olisivat kuvio. He eivät näe todellista kuviota, symmetristä tekijöiden verkostoa, josta alkuluvut puhkeavat esiin. Matriisien näkökulmasta ei ole mitään järkeä siinä, että jokin funktio katsoo ainoastaan solmukohtien eteen (-1) tai ainoastaan niiden taakse (+1). Kumpikin metodi löytää alkulukuja kohtalaisen usein, sillä tekijöiden kertominen tuottaa matriisin nollakohtia ja seuraava tai edellinen luku ei voi sisältää näitä tekijöitä. Niinpä siitä saattaa löytyä alkuluku - mutta mikään funktio ei ole erehtymätön, sillä tekijöitä riittää.

Netistä löytyy monia sivuja, joilla vouhkataan esimerkiksi Mersennen alkuluvuista ja ihmetellään tietokoneiden tarjoamia tuloksia. Iik! Taas löytyi uusi valtavan suuri mersennen alkulku!! WTF?!

Itse asiassa Mersennen funktion, kuten kaikkien muidenkin on jo moneen kertaa osoitettu vuotavan. Ne tuottavat myös lukuja, jotka eivät ole alkulukuja. Siitä huolimatta fanit eivät ole lannistuneet. He uskovat Mersenneen. He uskovat loppuun asti, että -1 voittaa ja tuottaa enemmän alkulukuja kuin Fermatin suosima +1. Miinuksessa on heidän mielestään enemmän magiaa kuin plussassa.

Itse asiassa alkulukuja etsivän funktion jakojäännöksen ei tarvitse olla +1 tai -1. Se voi olla mikä tahansa alkuluku, jota ei vielä ole sijoitettu funktioon. Esimerkiksi, jos kerromme keskenään luvut 2 x 3 x 5 ja 7 ja lisäämme tai vähennämme 11 (tai 13, 17, 19, 23, 29 jne.). Uusi luku ei voi olla jaollinen tekijöillä 2, 3 , 5, 7 tai myöskään 11. Se on 11 askelen päässä ruudusta, jossa ovat 2, 3, 5 ja 7 - eikä mikään niistä voi ottaa 11 pituista askelta. Luku ei myöskään voi olla 11:lla jaollinen, sillä 11 ottaisi suoraan askelman ruutuun 2 x 3 x 5 x 7 joka ei voi olla 11:lla jaollinen.

Tämä itse asiassa johtaa siihen, että alkulukuja on ääretön määrä. Jos luku 2x3x5x7 + X on jaollinen luvulla Y, ei sama voi päteä lukuun 2x3x5x7 - X. Jos Y löytyisi kummastakin ruudusta, se kulkisi siinä tapauksessa matkan 2X, mikä on mahdotonta kaikille muille alkuluvuille paitsi 2 tai X. Uusi nollakohdasta katsottuna negatiivinen sijainti voi kylläkin olla jaollinen luvulla Z.

Kun nyt huomioimme kohdat 2x3x5x7 + Y ja Y sekä + Z ja -Z, saamme neljä uutta potentiaalista alkulukua, tai ainakin sijaintia, jotka eivät voi olla jaollisia luvuilla 2, 3, 5 tai 7. Joka tapauksessa varteenotettavat tekijät loppuvat ennen kuin saamme kaikki sijainnit kartoitettua - niinpä metodilla löytyy uusi alkuluku ennemmin tai myöhemmin.


Alkulukujen lukumäärästä matriisien sisällä ja äärettömyyteen

Käsittelen alkulukupareja kolmessa osassa. Toistaiseksi tiedämme vain, että alkulukuja syntyy pareittain, koska matriisit ovat symmetrisiä ja tekijät kokoontuessaan samaan ruutuun jättävät tyhjän tilan molemmille puolille nollakohtaa.

Seuraavaksi alamme ennustaa alkulukujen sijaintia analyyttisesti sekä laskea alkulukujen määrän matriiseissa. Kaiken tämän me opimme tekemään hyvinkin eksaksisti. Vasta aivan viimeiseksi pohdimme, miten voimme ottaa lukuun myös ei-tunnetut tekijät, ja ennakoida esimerkiksi yllä näkyvän kuvion liikkeelle lähteneen alkuluvut 11, 13 tai 19.

Villit tekijäkokelaat eivät noudata symmetriaa, kuten tunnetut tekijät. Montako niitä on tällä alueella? Ovatko ne "varteenotettavia" tekijöitä? Ja jos ovat, kuinka me tiedämme missä ne liikkuvat?

Kun saamme vastauksen näihin kysymyksiin, voimme paikallistaa alkuluvut äärettömän suurilla janoilla - ja olemme todistaneet, että alkulukupareja on ääretön määrä - matematiikan avoin kysymys, jota toistaiseksi ei kukaan ole ratkaissut.