keskiviikko 9. toukokuuta 2012

Goldbachin hypoteesi, osa 3

Seuraavaksi esittelen tekijämatriisin. Se koostuu tunnetuista tekijöistä. Tunnetut tekijät tunnetaan aluksi siksi, että ne on määritelty yksitellen - mutta myöhemmin kun opimme ymmärtämään tekijöiden käyttäytymistä, "tunnettujen" tekijöiden ala laajenee. Voisi jopa sanoa, että lopulta tunnettujen tekijöiden ala kasvaa äärettömiin - mutta ihan sellaisesta en vielä uskalla puhua. Tunnettua tekijää määrittää se, että voimme laskea algoritmeille eksakteja arvoja - emme siis likiarvoja, joihin alkulukututkimuksessa on tyypillisesti tyydytty.

Yksinkertaisin tunnettu tekijä on luku 2. Itse asiassa se on tunnettu juuri siitä syystä, että meillä on matemaattisessa kielessämme sille ihan oma käsitepari: parillinen / pariton. Jos jonkin luvun kerrotaan olevan parillinen, me tiedämme, että sen tekijnä on luku 2. Ja jos se on pariton, me puolestaan tiedämme, ettei sen tekijänä voi olla lukua 2. Tämä on esimerkki eksaktista tekijöitä koskevasta tiedosta.

Meillä ei kuitenkaan ole kielessämme käsitteitä, joilla ilmaista suoraan jonkin luvun kolmella tai viidellä jaollisuutta. Juuri tällä tavoin kielelliset määritelmät vaikuttavat matemaatikkojen mielenliikkeisiin - vaikka he luulisivat, että matematiikan kieli ei olisi puolueellinen. Kyllä se on. Kakkosella jaollisille sanoille on termi, mutta muille ei. Tämä on eräänlaista lukurasismia ja ahdismielistä ajattelua.


Tekijämatriisi ja tekijöiden tanssiaskeleet

Matriisit muodostavat symmetrisiä ja kauniita kuvioita - mutta en valitettavasti osaa ohjelmoida ohjelmaa, joka piirtäisi niiden yhdistelmistä kauniita animaatioita tai fraktaaleja. Resurssien ja tilan puutteen vuoksi joudun tyytymään yksinkertaisiin tekijämatriiseihin. Kaksi helpointa ja eniten käyttämääni matriisia ovat 2 x 3 sekä 2 x 3 x 5. En kuitenkaan aio välttää runollisuutta niistä puhuessani.

Seuraavassa on piirrettynä Origo6, eli 2 x 3:
Origo6
(Jos kuva näyttää kököltä, se johtuu siitä, että se on tehty Paint-ohjelmalla.)

Tässä kuvassa näkyy sama matriisi itse asiassa kaksikin kertaa. Numero kolme ottaa tapansa mukaisesti askelia, joissa se hyppää kahden luvun yli, kakkonen pienemmillä jaloillaan yltää vain yhden parittoman luvun ylitse. Samassa ajassa kuitenkin kakkonen ottaa kolme nopeampaa alkelta ja se ehtii ruutuun 6 yhtä aikaa harppovan kolmosen kanssa. Tällä tavoin tekijöiden tanssi jatkuu hamaan äärettömyyteen asti: kolme lyhyttä askelta, kaksi pitkää...

Olen miettinyt millä nimellä kutsuisin kohtaa, jossa tekijät kohtaavat rinta rinnan ja tanssikuvio alkaa alusta. Pyörittelin mielessäni sellaisia uustermejä kuten "tekijäkonjunktio", "tekijäkonstellaatio" tai "matriisin nollakohta". Koska kyseessä todellakin oli näiden tekijöiden näkökulmasta "uusi nollakohta", aloin kutsua sitä Origoksi.


Originaali origo ja siirretty origo

Matriisi-skeeman näkökulmasta tarkasteltu lukujana alkaa Origosta. Matriisi myös loppuu origoon. Tämä voi olla aluksi hieman vaikea ymmärtää, mutta kaikki johtuu siitä, että olen määritellyt "liikkuvan origon" soveltamalla origonsiirtoa. Kun puhun tavallisesta origosta, tarkoitan nollaa. Kun puhun "siirretystä origosta", en tarkoita nollaa vaan matriisin alkupistettä - mutta vielä useammin sen loppupistettä - sillä usein käytännön syistä määritän alkupisteeksi nollan.

Nolla, eli normaalisti origoksi ymmärretty taulukon kohta, on kaikkien olemassa olevien matriisien nollakohta, äärettömyyksiin asti. Tämä johtuu siitä, että nolla sisältää kaikki tekijät. Kaikki alkuluvut voidaan kertoa nollalla ja niiden arvoksi tulee nolla. Niinpä mikä tahansa matriisi voidaan määrittää alkavaksi origosta.

Tämä ei kuitenkaan koske "siirrettyä origoa". Siihen kuuluvat tunnetut tekijät, jotka määritellään erikseen origon nimessä. Origo30 se simerkiksi sisältää tekijät 2 x 3 x 5. Se on siis sama kuin Origo60, sillä molemmilla on yhteiset tekijät - tosin luku 2 esiintyy jälkimmäisessä kaksi kerta. Samojen tekijöiden useita kertautumisia ei kuitenkaan tarvitse erikseen määritellä visuaalisessa esityksessä. Kuviosta Origo6 näemme, kuinka Matriisi 0 --> 6 on identtinen matriisin 6 --> 12 kanssa. Matriisien yksi etu on siinä, että kun tekijät hahmotetaan ruudukossa liikkuviksi pelinappuloiksi, niiden monikerrat ovat toissijaisia. Kun selitämme alkulukuja matriisien avulla, meidän tarvitsee tietää ainoastaan tekijät - ei niiden esiintymien määrää.

Matriisin nollakohtien kutsuminen origoksi on mielekästä myös siitä syystä, että kaikki matriisit ovat symmetrisiä. Ja kun sanon KAIKKI, tarkoitan kaikkia matriiseja, tunnettujen tekijöiden muodostamia sekä niitä, joita ei ole määritelty. Tämä tekee normaalien aritmeettisten funktioiden muodostamisesta vaikeaa tai jopa mahdotonta ja pakottaa meidät soveltamaan fraktaaleja. Mutta samaan aikaan tekijämatriisien symmetrisyys selittää Goldbachin konjenktuuria ja auttaa meitä näkemään sen ratkaisun.

KLIKKAA ISOMMAKSI:
Origo30 = 2 x 3 x 5
Tunnetuiksi tekijöiksi on määritelty kolme pienintä alkulukua, ja saman tien niiden alkuluku-ominaisuudet on tyystin unohdettu. Ne ovat nyt matriisin rakennuspalikoita ja niiden keskinäinen tanssikuvio on tiedossa nollasta äärettömään. Jokainen 30:llä jaollinen solmukohta sisältää nämä samat tekijät, eli ne ovat palanneet origoon, josta ne aloittavat uudelleen saman 30 ruutua kestävän askelsarjansa.

Jos kuvio tulostetaan ja paperi taitetaan luvun 15 kohdalta, molemmat puoliskot istuvat täydellisesti toisiinsa. Matriisit ovat toistuvia, mutta myös sisäisesti symmetrisiä.


Puuttuvat Legot

Alkulukujen on ajateltu olevan lukujen rakennuspalikoita. Niiden on myös uskottu muodostavan kuvioita. Nämä kumpikin oletukset ovat virheellisiä. Jos tekijät ovat risuaidan risuja - niin silloin alkuluvut ovat puolestaan aukkoja, joista tuuli puhaltaa lävitse.

Seuraavassa kuvassa olen yliviivannut matriisista kohdat, joihin tekijät astuvat matkallaan origosta origoon. Jäljelle jääneet luvut olet ympäröinyt (anteeksi eri värien sotku, mutta kuva on edelleenkin luotu Paint-ohjelmalla.)

KLIKKAA ISOMMAKSI.
Luku 1 on määritelty poikeustapaukseksi. Muuta luvut ovat 7, 11, 13, 19, 23 ja 29. Arvaa kuinka moni niistä on alkuluku? Joka ikinen, tietenkin.

Tätä tarkoitan sillä, kun väitän että alkulukuvut ja tekijät ovat eri asia. Ne kilpailevat keskenään elintilasta. Tekijät muodostavat toistuviaja symmetrisiä kuviota - ja alkuluvut puolestaan ovat kuviossa esiintyviä aukkokohtia. Kun tiedämme missä tekijät ovat, tiedämme sen jälkeen missä ovat alkuluvut.

Jos tekijät tunnetaan eksaktisti, tunnetaan myös alkuluvut... eksaktisti. Tämä on kaikki on itsestäänselvää arkijärjelle, mutta jos alkuluku ja tekijä määritellään samaksi olioksi, kieli estää meitä puhumasta asiasta.


Kuvio ja tausta

Kuvassa on yksi tunnetuimmista optisista illuusioita.
Voimme hahmottaa kuvassa joko maljakon tai kahdet kasvot, riippuen siitä, kumman hahmotamme kuvioksi ja kumman taustaksi - mustan vai valkoisen.

Alkulukuja on tähän asti tutkittu ikään kuin ne muodostaisivat kuvion. Matemaatikkosukupolvet toisensa jälkeen ovat rakennelleet funktioita ja algoritmejä, jotka noudattaisivat alkulukujen esiintymistiheyttä tai paljastaisivat seuraavan alkuluvun sijainnin. Jopa matemaattiset nerot ovat sinnikkäästi uskoneet, että alkuluvuilla täytyy olla jokin kaava - että ne muodostavat kuvion, jossa on järkeä ja jonk järkemme voi tavoittaa.

Alkulukuja on koko ajan tuijotettu kuin ne olisivat kuvio. Tämä on lähtökohtainen ajatusvirhe, sillä alkuluvut ovat tausta. Tekijät muodostavat kuvion ja alkuluvut ovat taustaa, joka paistaa läpi tuosta kuviosta.

Kysymys on nyt pitkälti siitä, miten suureksi me voimme laajentaa "tunnettujen" tekijöiden piirin. Toistaiseksi olen huomioinut vain muutaman tekijän. Mitä tapahtuu, kun yritämme muotoilla sääntöjä, joilla tunnettujen tekijöiden käyttäytyminen kyettäisiin ennustamaan äärettömyyteen asti? Voiko sitä tehdä silmät kiinni, ilman piirroksia tai taulukoita? Jos se on mahdollista, tarkoittaako se, että kaikki alkulukuja koskevat ongelmat on ratkaistu...

*

PS. Olen joutunut käyttämään muutamia oikopolkuja matkan varrella. Tarkoitukseni ei ole esimerkiksi väittää, että kaikki selittyisi "tunnetuilla" tekijöillä ja alkuluvuilla. On myös huomioitava muita tekijöitä, joita edellisessä kirjoituksessani jo esittelin mm. "varteenotettavana tekijänä". Esimerkiksi jos tutkimme Origo30:n jakautumista välillä 30 -> 60, emme enää löydä alkulukua jokaisesta matriisin aukkokohdasta. Olemme astuneet Origo210:n reviirille, eli luku 7 on muuttunut alkuluvusta tekijäksi. Etenkin on huomioitava kohta 7 x 7 = 49 - jossa seiska esiintyy ilman muiden tekijöiden läsnäoloa. Tämä ei ole mikään ongelma määritelmieni suhteen vaan yksi syy sille miksi alun perin olen luonut kyseiset erottelut.

PPS. Seuraavaksi tutkin alkulukupareja. Vasta niiden jälkeen aloitan varsinaisen Goldbachin hypoteesin käsittelemisen.

1 kommentti: