Alkulukuparien etsiminen

ALKULUKUJEN ARVOITUKSET, PIENI VÄLIPALA ENNEN FINAALIA.

Netistä löytää monia kaavoja, joilla voi etsiskellä alkulukuja.  En tiedä minkälaisten algoritmien avulla aiheeseen erikoistuneet tutkijat niitä metsästävät, mutta jos he käyttävät hyväkseen esitettyjä kaavoja, heiltä jää moni alkuluku löytämättä matkan varrella.

Helpoin tapa löytää suurikokoinen alkulukupari on kertoa yhteen tekijöitä, mutta hypätä alkulukuparin ylitse. Sitten saatuun lukuun lisätään yli hypätyt alkulukuparin jäsenet, ja ne myös vähennetään niistä.

n x 2 x 3 x 5 x 7 x 17 + 11 / +13 (- 11 / - 13)

Syy miksi tämä toimii on se, että saadut luvut eivät voi sisältää tulossa mukana olleita tekijöitä, mutta varmuudelle matriisin siinä kohdassa on potentiaalinen alkulukupari.

Esimerkiksi, (kun n =1):
3570 + 11 = alkuluku
3570 + 13 = alkuluku - pari!

3570 - 11 = alkuluku
3570 - 13 = alkuluku - pari!

(kun n =2)
7140 + 11 = alkuluku
7140 + 13 = 23 x 311

7140 - 11 = alkuluku
7140 - 13 = alkuluku - pari!

Tällä yksinkertaisella funktiolla löytyi heti peräti kolme suurikokoista alkulukuparia, ja osumatarkkuus alkulukuihin oli muutenkin melko hyvä.

Monesti kuuluisissa kaavoissa, joilla alkulukuja metsästetään, ei ole mitään ihmeellistä. Niissä on jokin tietty osa, joka toimii kohtalaisen hyvin, mutta ne eivät ole sen parempia kuin tällaiset kotikutoiset etsintämenetelmät.

Harmillista on se, että niin monet suu auki ihmettelevät, miten voi olla mahdollista X ja Y plus 1 ja WOW- alkuluku! alkuluvuista on tullut modernin matematiikan mystinen ja alkemiaa muistuttava osa-alue, jonka toimintaperiaatteita juuri kukaan ei osaa selittää.

Otetaan varmuuden vuoksi sama kaava, mutta vaihdetaan 17: tilalle 19.

(kun n =1):

3990 + 11 = alkuluku
3990 + 13 = alkuluku - pari!

3990 - 11 = 23 x 173
3990 - 13 = 41 x 97

(kun n =2)
7980 + 11 = 61 x 131
7980 + 13 = alkuluku

7980 - 11 = 13 x 613
7980 - 13 = 31 x 257

Tällä kertaa pareja löytyi vain yksi. Mikään funktio ei siis ole erehtymätön, vaikka se toimisikin loppuun asti.

Mielenkiintoista jälkimmäisessä tapauksessa on se, että 7980 - 11 sisältää tekijänä luvun 13. Kukaan ei väittänytkään, ettei alkulukuparin etsimistä voisi pilata juuri se toinen alkuluku, jota etsinnässä käytetään apuna. 7980 - 13 ei voi olla jaollinen luvulla 13, mutta sen pari voi hyvinkin olla.

HUOM. Funktioissa on se mielenkiintoinen piirre, että monet näennäisesti toimimattomat funktiot voivat alkaa myöhemmin toimia, mutta niitä ei ole havaittu, koska harvinainen poikkeama esiintyy jo melko alussa. Vastaavasti monet ihmeellisinä pidetyt kaavat eivät ole niin ihmeellisiä pitkällä tähtäimellä, ne vain sattumalta antavat hyviä tuloksia etsinnän alkuvaiheessa.


Vielä sananen alkulukuparien äärettömästä määrästä

Jos joku on lukenut tänne saakka, hän on toivon mukaan jo ymmärtänyt, miksi alkulukupareja on niin paljon ja miksi olisi vaikea uskoa, ettei niitä olisi loputtomasti.

Tämän kirjoitussarjan ensisijainen tarkoitus on lisätä ymmärrystä, ei niinkään todistella. Lukuteoria polkee paikoillaan, koska ymmärrys perusasioista on kadonnut ja fukntioihin luotetaan miltei taikauskon vallassa.

Vaikeudet alkavat selkiytyä, kun
a) huomio siirtyy alkuluvuista tekijöihin
b) tekijöillä ymmärretään olevan säännönmukaisia askelkuvioita
c) että tekijöiden muodostamat kuviot ovat symmetrisiä ja yhdistyvät suuremmiksi kuvioiksi, mikä viittaa fraktaaleihin
sekä
d) alkuluvut eivät ole rakennuspalikoita, vaan aukkokohtia aritmeettisesti ilmaistavissa rakenteissa.
ja
e) tekijät ovat hitaita, kömpelöitä ja ne toistavat virheensä, eli ne eivät koskaan ja missään olosuhteissa saa peitettyä kovinkaan laajaa lukusuoran janaa. Uudet alkuluvut ja pariutuvat sellaiset pomppavat esiin kuin sienet sateella.

Koska tekijät kiertävät matriisissa kuten planeetat radoillaan, tai kuten kellon viisarit - tosin viisareita on niin paljon, että koko näyttätaulu uhkaa paikoin jäädä niiden peittoon.

On kuitenkin väistämätöntä, että suuria harppauksia ottavat tekijät hyppäävät tietyin väliajoin matriisissa luonnollisesti ja ikuisesti esiintyvien parillisten aukkokohtien ylitse - tai niiden väliin -, jolloin löydämme kaksi lähellä toisiaan sijaitsevaa alkulukua, niin kutsutun parin.

Parien esiintymisessä ei myöskään ole taustalla mitään taikuutta. Paljon useampiakin alkulukuja saattaa esiintyä lähekkäinn silloin, kun parin keskelle on samaan aikaan osunut useita tekijöitä. Ne harppovat tällöin pitkälle eteen ja taakse, jolloin alkulukuja tuntuu ilmaantuvan miltei perhekunnittain.


Kaksoisfunktio eli ristikkäisetsintä
eli KATAMARAANIFUNKTIO (tai hauskemmin tandem-funktio)

Aiemmin mainitun tekijöiden harppomisen vuoksi ei ole välttämätöntä, että etsimme alkulukuja funktiolla, jonka ytimessä on tulo, ja johon sitten on lisätty alkuluku, yleensä luku 1.

Voimme tehdä myös katamaraani-funktion, eli kahden tulon summasta koostuvan algoritmin. Saadussa luvussa ei tällöin voi esiintyä kummankaan alkion tekijöitä. toisen rungon on oltava pariton, mikä tapahtuu automaattisesti, jos samaa tekijää ei käytetä kahdesti.

2x3x5 + 7x11x13

30 + 1001 = 1031 alkuluku!

Tietääkseni kukaan ei ole aiemmin rakentanut alkulukujen etsimiseen katamaraanirunkoista algoritmiä. Syy on todennäköisesti se, ettei matemaatikoilla ole ollut kanttia jakaa alkulukuja tekijöihinsä.

Seuraavassa lisää toimivia tuloksia (melkein kaikki joita yritin toimivat):

2x3x7 + 5x11 = 97 = alkuluku!

2x3x7 + 5x13 =107 = alkuluku!

2x3x7 + 5x17 = 127 =alkuluku!

2x3x11 + 5x7 =101 =alkuluku

2x3x13 + 5x7 =113 =alkuluku!

jne. jne.


Alkulukujen jakaminen tekijöihinsä

Harjaantumisen kautta on varsin helppoa nähdä mistä suurehkotkin luvut - ja jopa alkuluvut koostuvat. Alkulukuja ei tietenkään voi ilmaista pelkkänä tulona, mutta se ei tarkoita, ettei niitä voisi koota muista luvuista.

Alkuluvun muodostamisessa tarvitsemme vähintään kolme lukua. Kaava on muotoa A x B + C

Seuraavassa joukko alkulukuja jaettuna tekijöihinsä:

11 = 2 x 3 + 5
13 = 2 x 3 + 7
17 = 3 x 5 + 2
19 = 2 x 3 + 13

Monet alkuluvut voi ilmaista useimmilla tavoilla.

17 = 2 x 5 + 7
17 = 2 x´2 + 13
17 = 2 x 3 +11

Tällaista tekijöihin jakamista ei hyväksytä, koska se ei tapahdu yhdiselitteisesti. Alkuluvut ovat ongelmallisia juuri siitä syystä, että niitä voi purkaa ja analysoida monin tavoin.

Kaikki alkuluvut, jotka ovat 3:sta suurempia, voidaan ilmaista matriisien aukkokohtina. Matriisia ilmaiseva osa funktiosta on tulo AxB, ja aukkokohdan ilmaisee C-osa.

Tällaisen ajattelutavan omaksuminen on tarpeellista siitä syystä, se on avain myös Goldbachin hypoteesin ratkaisuun.


Alkulukuparien ongelman ratkaisun todistamisesta, versio 2 (tai 3)

Aiemmin esittelin algoritmin, joka kertoi, montako alkulukuparia on kussakin matriisissa. Haluan nyt esittää asian uudelleen, koska edellinen tapaus on melko sekava.

Kyse on siis siitä, että kaavalla "P1 x P2 x P3... x Pn + C" me löydämme alkulukupareja, joilla on tietty pysyvä C:n arvo.

Toinen kaava (P1 - 2) x (P2 - 2) x (P3 - 2)... x (Pn -2) kertoo meille eksaktisti, kuinka monta C:n arvoa on mahdollista löytää - ja myös varmistaa, että tällä C:n arvolla löytyy takuuvarmasti alkulukupari - eikä enää millään muulla arvolla, koskaan.

Esimerkiksi (2 x 3 x 5)n + C saa kolme C:n arvoa:

30n + 1 sekä 30n - 1, toisin ilmaistuna 30(n-1) +29
30n + 11 sekä 30n + 13
30n + 17 sekä 30n + 19

Näillä koordinaateilla löytyy alkulukupareja hamaan ikuisuuteen saakka.

Kun lisäämme kaavaan numeron 7, se kertoo että saamme C:n arvoja 7 miinus 2, eli viisi kertaa enemmän kuin edellisessä tapauksessa.

3 x (7-2) = 15 C:n arvoa ovat:

210n + 1 sekä 210(n-1) + 209

210n + 11 sekä 210n + 13
210n + 17 sekä 210n + 19

210n + 29 / 31
210n + 41 / 43
210n + 59 / 61

210n + 71 / 73
210n + 101 / 103
210n + 107 / 109
210n + 137 / 139
210n + 149 / 151
210n + 167 / 169

210n + 179 / 181
210n + 191 / 193
210n + 197 / 199
(Huomaa, että vaikka C:n arvona käytetyt luvut 169, 181 ja 209 eivät olisi alkulukuja, voimme niiden avustuksella kylläkin löytää alkulukuja, jotka ovat muotoa 210n + 121 jne. Tämä johtuu siitä, että matriisin tunnetut tekijät ovat eri tilanteessa kuin potentiaaliset tekijät.)

Esimerkiksi 121 (11x11) ei ole alkuluku, mutta silti:
210 x 1 + 121 = 331 (alkuluku)
210 x 2 + 121 = 541 (alkuluku)
210 x 3 + 121 = 751 (alkuluku)

Tekijä 11 ei kuulu vielä tähän matriisiin, joten se ei määritä mihin matriisi pystyy ja mihin ei. Se on kuitenkin potentiaalinen siinä suhteessa, että se voi estää - ja estääkin parien syntymisen. Kun se myöhemmin lasketaan mukaan matriisiin, voimme kuitenkin tarkasti kartoittaa, millä alueella se tämän tekee.

Lisää alkulukuja, jotka on löydetty yhdistelmälukua käyttäen.

210 x 1 + 169 = 379 (alkuluku, mutta ei parillinen)
210 x 2 + 169 = 589 (ei alkuluku)
210 x 3 + 169 = 799 (ei alkuluku)
210 x 4 + 169 = 1009 (alkuluku, mutta ei parillinen)
210 x 5 + 169 = 1219 (ei alkuluku)
210 x 6 + 169 = 1429 (BINGO! alkuluku, jonka pari on 1427!

Tällaisia kaavoja ei usein opeteta, koska ne eivät näyttäisi toimivan kovin hyvin. Ne kuitenkin toimivat pitkällä tähtäimellä - ja loputtomiin.

Testataan vielä kaksi muuta:

210 x 1 +181 = 391 (ei osumaa)
210 x 2 + 181 = 601 (BINGO! alkuluku, jonka pari on 599)

210 x 1 + 209 = 419 (BINGO! Heti ekalla.)

Astetta suurempi origo2310, eli kaava "2310n + C" ennustaa löytöjä 15 x (11-2) = 135 C:n arvoa, joilla varmuudella myös esiintyy alkulukupareja...

(Huom. ehtona tietenkin on, että N > 1)

Origo30030, eli 30030 + C löytää pareja 135 x (13-2) = 1485:lla C:n arvolla.

jne. jne. äärettömyyteen asti.

Koska tiedämme, että voimme lisätä kaavaan kaikki tunnetut alkuluvut, eikä C:n arvo voi koskaan lähteä laskuun (koska Pn - 2 ei voi olla pienempi kuin 1) - ja koska "tekijöiden kiertoon" ja "potentiaalisten tekijöiden keskinäisten sijaintien täydelliseen versiointiin" (eli siihen, että ne ovat kaikissa suhteissa toisiinsa vain kerran origojen välillä) nojautuen tiedämme kaikkien C:n arvojen realisoituvan alkulukuparina, on alkulukupareja on ääretön määrä. M.O.T.