Työn mielekkyydestä

Olen muutaman kerran jo ehtinyt kehua Abraham Maslowia ja hänen tarvehierarkioitaan. Maslow on epäilemättä viime vuosisadan suurimpia psykologeja - ja monessa suhteessa tärkeämpi kuin esimerkiksi Freud. Useat kuuluisat psykologit ovat olleet kuuluisia, koska he ovat käsitelleet oman aikakautensa neurooseja. Kukapa ei tahtoisi kuulla skandaaleista ja eriskummallisista tapauksista.

Maslow ei tutkinut niinkään ongelmia ja sairauksia, vaan terveen elämän edellytyksiä. Häntä kiinnosti janan toinen pää: ihmiset jotka ovat onnellisia ja menestyneitä.

Uskon, että onnellisuuden tutkiminen tuottaa kestävämpää psykologista tietoa. Onnen edellytykset ovat vähemmän kulttuurisidonnaisia - ja kuitenkin me käytämme yhä valtavasti voimavaroja rikollisten ja sarjamurhaajien ajatusten selvittämiseen. Kouluampujasta puhutaan kuukausitolkulla, mutta 9 laudaturin ylioppilas on yhden päivän pieni uutinen.


Työn mielekkyyden hierarkiat

Maslovin kuuluisin käsite on tarvehierarkia. Tälläkin viikolla muistan kahden eri henkilön käyttäneen tuota sanaa. Toinen taisi olla kaveri Facebookissa ja toinen television asiantuntija.

Kuluneen kuukauden olen viettänyt 4.000 asukkaan Sysmässä. Jonkin verran olen ikävöinyt ystäviäni, mutta varsinaisesti en ole kokenut, että tarvitsisin mitään. (Saattaa olla, että kärsin magnesiumin puutteesta, koska silmäkulmassa nykii elohiiri. Olen lenkkeillyt ja saunonut paljon, joten ehkä puuttuu suoloja.)

Työtä olen tehnyt oikeastaan joka päivä. Välillä 7-8 tuntia, mutta joinakin päivinä vain 2-4h - varsinkin jos hartioita on särkenyt edellisen päivän tietokoneella istumisesta.

Äsken näin televisiosta pätkän luontodokumenttia, jossa afrikkalainen puistonvartija puhui työstään. Hän näytti onnelliselta ja ylpeältä. Hän kertoi tekevensä työtä, jolla on merkitystä. Hän ei piitannut mahdollisista vaaroista, joita häikäilemättömät salametsästäjät aiheuttivat. Hän teki arvokasta työtä.

Jos Maslowin tarvehierarkioissa on jokin heikkous niin ehkä se, että ne määrittävät etupäässä sitä, mitä ihminen tahtoo saada - ei niinkään mitä ihminen tahtoo antaa.

Psykologian ei aina tarvitse olla mullistavaa ollakseen tärkeää. Joskus riittää se, että tunnetut asiat sanotaan ääneen ja muotoillaan uskottavasti. Sen jälkeen niiden todenmukaisuutta on helpompi tutkia. Ja kun niitä on tutkittu, voivat kaiken ikäiset ihmiset vedota niiden auktoriteettiin. Ei tarvitse puhua omasta elämänkokemuksesta, ja tämä antaa nuorille paremmat mahdollisuudet puolustaa omia näkemyksiään.

Mitkä ovat työn arvostuksen kriteerit? Millaisia ovat universaalit työn hierarkiat? Ehkä ne olisi hyvä määrittää niin voisimme puhua selkeämmin työn mielekkyydestä ja mahdollisesta laadun heikkenemisestä. Voisimme suoraan sanoa, että tämä tai tuo on roskatyöpaikka. Olen seuraavassa nopeasti hahmotellut muutamia työn arvostuksen aiheita:

1) Työ johon liittyy sankarillisuutta: urheilija, löytöretkeilijä, astronautti, seikkailija... ja ehkä palomies ja vastaavat. Olen melko varma, että nämä ovat ainakin pikkupoikien ykkösvaihtoehto.

2) Työ, joka vaatii poikkeuksellista taitoa: laulaja, näyttelijä, kirurgi, urheilija - toistamiseen. Ehkä myös huippuinsinööri, metsästäjä tai erityisen taitava käsityöläinen, kuten kelloseppä.

3B) Työ, jossa on valtaa. Vasta kolmantena, ehkä kuuluisi vasta neljänneksi, vaikka joku ehkä sijoittaisi tämän korkeammalle. Yleensä vallasta ei olla mitenkään superkiinnostuneita nuorena - eikä mediakaan seuraa johtajia tai kenraaleja, kuten taiteilijoita tai urheilijoita. Valta tekee henkilöstä kiinnostavan sitä kautta, jos henkilöllä on älyä, taitoja ja karismaa. Juhani Tamminen tai Jorma Ollila tunnetaan, mutta hyvinkin suurten yritysten johtajat voivat pysyä täysin tuntemattomina - eikä varman monikaan lapsi sano ala-asteella haluavansa isona muiden ihmisten komentajaksi. Pomottelu saattaa näkyä persoonasta, mutta se ei ole uratoive. (Poliisi ja opettaja voidaan tietenkin nähdä ammatteina, joihin liittyy valtaa.)

3A) Työ, jossa pääsee valtaa pakoon. Paljon edellistä toivotumpi piirre ammatissa, mahdollisesti jopa monen ykköshaave. Mikään ei ole niin sietämätöntä kuin se, että joutuu tekemään töitä itseään typerämmän alaisuudessa - varsinkin jos pomo on epäpätevä ja kärsii myös erinäisistä persoonallisuuden häiriöistä. Usein unelmatyötä kuvailtaessa puhutaan "itssenäisyydestä", "riippumattomuudesta", "itsensä toteuttamisesta", mutta yleensä se tarvkoittaa vain sitä, ettei päivittäin tarvitsisi kuunnella kenenkään vittuilua.

4a) Työ, joka on yleishyödyllistä: lääkäri, pappi, opettaja...
 
4b) Työ, jossa jossa näkee työnsä tulokset: muurari, puutarhuri, parturi, käsityöläinen, korjaaja, maanviljelijä, kokki, siivooja...

4c) Työ, johon liittyy velvollisuuksia: poliisi, vartija, bussikuski, hoitaja...

En osaa sanoa mikä näistä kolmesta olisi ensisijainen. Yleensä arvostetuissa töissä mainitaan vähän näitä kaikkia piirteitä. Uskon, että kaikki neljännen kategorian työt tuottavat lopulta jopa suurempaa tyytyväisyyttä kuin kolme ensimmäistä ryhmää.

5). Työ joka tuottaa krääsää, lisäarvoa ja vaihtoarvoa: tehdastyöläinen, kauppias... Tuskin kovinkaan monen intohimojen aihe, vaikka monessa suvussa näitä arvostetaan paljon. Tavallaan juuri siksi valtavan paljon varallisuutta keskittyy yksiin käsiin, koska todella intohimoista kilpailua kaupan alalla on vähän. Harvalla on kanttia lähteä tyhjästä rakentamaan tuotantolinjoja tai haaveilla omista kauppalaivastoista. Ne muutamat, joilla on suuret visiot, ja jotka tekevät paljon työtä, haalivat paljon rahaa.

Kauppiaan ammattia on vielä pari vuosisataa sitten pidetty likaisena ja epäkunnioitettavana ammattina. On aina vaistottu, että parhaiten menestyvä kauppias on epärehellinen kauppias - joka pyytää liikaa ja antaa liian vähän. Kauppiaan ammatista haaveilevan on tiedetty omaavan epäempaattisia piirteitä. Hän nauttii muiden huijaamisesta ja tarpeen tullen "vaikka myisi oman äitinsä". Esimerkiksi TV-sarjassa Pieni talo preerialla juuri kauppiatar ja hänen tyttärensä esitetään ahneina ja ilkeinä.

Nykyään tietenkin tällaiset itsestäänselvyydet on korvattu hinovaraisemmilla ja neutraaliksi naamioiduilla kiertoilmauksilla. Myyjän kieroudet hyväksytään, ja liberalismin perusvapauksia on kauppiaan vapaus valheellisesti markkinoida tuotteitaan. Kuluttajalla on miltei velvollisuus langeta huijaukseen ja tuntea katkeruutta. Silloin hän lohduttaa itseään tuhlaamalla lisää.


Viihtymisen ja arvostuksen mittarit

Jo maitujen työn unelmien ja houkutusten lisäksi on paljon persoonasta riippuvia, yksilöllisiä mieltymyksiä. En usko että niitä voisi nähdä mitenkään yleisinä toiveina:

rauhallisuus / jännittävyys
itsenäisyys / sosiaalisuus
vaihtelu / toistuvuus
fyysinen työ / henkinen työ
luovuus / ohjesääntöjen noudattaminen

Lisäksi työ ei tietenkään saisi olla liian helppoa tai liian vaikeaa sopivan flow'n syntymiseksi. Työyhteisön tulehtuneen ilmapiirin, kiusaamisen ynnä muut eivät liity varsinaiseen työn kuvaan - kukaan tuskin huomioi sellaista unelmoidessaan työstä. Toki on mahdollista, että joillakin aloilla sosiaalisetongelmat helpommin kärjistyvät - tai ehkä ammatit vetävät puoleensa tietynlaisia persoonia.

En ole edes listannut sellaista työtä, josta vain saa rahaa. Rahan voi tietenkin ajatella olevan vaihtoarvoa tai valtaa, mutta usein korkeaa palkkaa nauttivat ihmiset kertovat, että heille työssä tuottaa iloa se, että he saavat tehdä sitä minkä parhaiten osaavat - tai saavat nähdä työnsä tulokset - tai tuottaa muille iloa. Ehkä raha on niin uusi asia, ettei meillä ole siihen yhdistyvää evolutiivista vaistoa. Me emme osaa tulla siitä onnelliseksi. Rahoissa kylpevä Roope Ankka on tuskin evoluution seuraava askel.

Tai ehkä me olemmekin lajina yllättävän salaviisaita. Vaistoamme, että raha on pohjimmiltaan vain yhteisesti hyväksytty illuusio. Sen arvo saattaa hävitä monenlaisissa muutoksissa, emmekä rakenna sen varaan. Nykyinen talousjärjestlemämme kylläki perustuu hyvin pitkälti pyrkimykseen häivyttää inflaatio - mutta se on uusi kokeilu historiassa, ja siihen näyttää sisältyvän monia varjopuolia. Kreikan ja Espanjan taloustilanne osin (vain osin) johtuu juuri siitä, ettei devalvaation mahdollisuutta enää ole. Mutta nyt ajaudun jo ihan väärään aiheeseen.

Jos suoritettaisiin usean kulttuurin sisällyttävä laaja tutkimus työn arvostuksesta - varmaan on jo tehtykin - voisi paskatyöksi helposti luokitella sellaisen, joka ei täytä mitään havaittuja mielekkyyden kriteerejä. Ja jos jossain yhteiskunnassa yli puolet tarjolla olevista töistä olisivat paskatöitä, olisi helppo osoittaa ainakin yksi syy nuorison motivaation puutteeseen ja ihmisten yleiseen vitutukseen.

Legendre & tekijöiden optimaalinen tehokkuus

ALKULUKUJEN ARVOITUKSET, OSA 9/10

Mitä me tiedämme varteenotettavien tekijöiden kyvyistä? Tähän on saatava selkeys, ennen kuin voin esittää lopullisen ratkaisun alkulukuparien rajattoman määrän ongelman tai Goldbachin hypoteesiin. Viimeisen kahden vuoden aikana olen keksinyt kumpaankin todistukseen varmaan kymmenen muttaa ja ehkää, mutta kaikki epäilykset ovat aina osoittautuneet turhiksi.

Onko esimerkiksi mahdollista, että riittävä määrä tekijöitä kykenisi aina peittämään potentiaalisen alkulukuparin toisen osapuolen? Entä jos Goldbach-pelin musta osapuoli onnistuisi jotenkin tehostamaan omien tekijöidensä kuolettavuutta ja päihittäisi ylivertaisen vihollisen? Ovatko tällaiset yllätykset edes teoriassa mahdollisia?


Kolmas ratkaisematon alkulukuongelma: "n ja n+1"

Legendren konjenktuuri esittää, että väliltä "n potenssiin 2" ja "n +1 potenssiin 2" löytyy aina vähintään yksi alkuluku.

Pelkästään alkulukuja tuijottamalla ratkaisut eivät juurikaan etene (eivät ole edenneet, eivätkä tule etenemään), mutta kun katse kohdistetaan tekijöihin, Legendren konjenktuurista tulee läpihuutojuttu.

Kysymys käännetään nyt siis toisin päin: pystyisivätkö käytössä olevat tekijät edes teoreettisesti peittämään koko pinta-alan välillä "n toiseen" ja "n+1 toiseen"?
(Anteeksi etten vieläkään ole keksinyt ratkaisua, jolla potenssit ja muutamat muut merkit, kuten nuolet, saisi bloggerissa toimimaan. Olen pari kertaa yrittänyt leikata tekstin wordistä, mutta siitä on tullut sotkua.)

Kun sanon "teoreettisesti", tarkoitan, että emme tule tutkimaan konkreettisia esimerkkiejä kuten yllä, vaan pahimpia mahdollisia tilanteita. Haluan testata kaikki tekijöiden yhdistelmät ja nähdä mihin ne pystyvät. Koe täytyy tietenkin suorittaa riippumatta mittasuhteista, tietämättä luvun n arvoa.

Sitä varten meidän on eroteltava universaalisti päteviä lakeja - ja hyödynnettävä useita aiemmissa teksteissäni esiteltyjä tekijöitä koskevia sääntöjä.


Osa 1: pelikentän laajuus

Onneksemme tutkittava väli säilyy vakiona. Lasketaan:

(n +1) x (n + 1) - (n potenssiin 2)

= (n potenssiin 2) + 2n + 1 - (n potenssiin 2)

= 2n + 1

Edellisestä osasta opimme, että varteenotettavia tekijöitä on tietyllä välillä aina käytössä määrä "neliöjuuri n", tai siis kaikki ne alkuluvut, jotka ovat pienempiä kuin neliöjuuri "n+1 potenssiin 2", voivat peittää omatoimisesti ruutuja tällä kyseisellä alueella, jonka päätepiste on "n+1 potenssiin 2".

Nyt Legendren konjenktuuri on siis muunnettu seuraavanlaiseen muotoon:

Käytössämme on alkuluvut välillä 0 - n+1.

Voiko niitä apuna käyttäen peittää alan, joka on 2n+1?

Mikä on tekijöiden maksimaalinen peittävyys? Kuinka sen voi selvittää? Sanoin alussa, etten halua hyödyntää todellisia tapauksia, mutta ehkä meidän on aluksi hyvä katsoa jos voimme oppia jotain niksejä rouva Empirialta.


Osa 2: tekijöiden peittävyys

Aiemmissa osissani esittelemäni matriisit perustuvat siihen, että tekijät toistavat samoja tanssikuvioita, eivätkä voi oppia uusia temppuja. Tämän voi sanoa myös toisella tavoin: tekijät käyvät tietyssä järjestyksessä läpi kaikki mahdolliset keskinäiset asemat. Matriisi siis näyttää meille kaikki mahdolliset tavat, joilla kyseiset tekijät voivat sijaita vierekkäin. Pisin aukoton jakso matriisissa on myös teoreettisesti pisin mahdollinen aukoton jakso, jonka tunnetut tekijät voivat rakentaa.

Pisin yhtenäinen jakso tekijämatriisissa 30.

(Ja Legendren konjenktuuri on sikäli helppo haaste, että KAIKKI tekijät voidaan tuntea esittelemilläni välineillä. Villejä tekijöitä ei tarvitse huomioida, sillä niitä ei ole. Miksikö? Selitän kohta.)

Toistaiseksi tekijöiden mieskunto ei näytä kovin kummoiselta. Tekijät 2, 3 ja 5 kykenevät hädin tuskin peittämään puolet siitä, mikä on suurimmat tekijän pituus. Väkisinkin syntyy aukkokohtia niiden kohtien viereen, jossa tekijät astuvat toistensa päälle. Muuttuisiko tilanne mitenkään, jos tekijöiden määrää lisättäisiin? Menisikö se huonompaan vai parempaan suuntaan - vai pysyisi samana.

Oletukseni on, että tilanne pysyy samana, mutta tässä vaiheessa en vielä voi varmistaa tuota oletusta. Se perustuu siihen havaintoon, jonka voimme tehdä katsoessamme luontaista origoa, eli aritmeettista nollaa - mutta tällä kertaa kumpaankin suuntaan.

 Tekijöiden peittävyys nollapisteessä.

Mikä hyvänsä tekijöiden määrä onkaan, ne peittävät nollasta hajautuessaan kaikki ruudun kahdesta aina n:ään asti - kumpaankin suuntaan - mistä syntyy tarpeisiimme täydellinen ala 2n. Uusia alkulukuja ei voi olla, koska alkuluvut ovat ne mitä ovat - onhan kyseessä nyt luonnollinen nolla, ei matriisin "siirretty origo". Nollaan titenkin sisältyvät tekijöinä kaikki luvut.
(Huom. Siirretyssä origossa mikään näistä luvuista P1 - Px ei olisi alkuluku, toisin kuin nollassa, josta katsottuna ne kaikki ovat alkulukuja.)


Tämä helposti tarjoutuva esimerkkijakauma paljastaa kuitenkin heti yhden rajoituksen: tekijät eivät edelleenkään pysty täyttämään kohtia origo + 1 sekä origo - 1. Jos Legendren alue noudattaisi samaa jakaumaa, siinä säilyisi sama tilanne - paitsi että nyt luvun 1 kohdalla olisi uusi alkuluku, eikä tietenkään uudestaan lukua 1.


Osa 2B: tekijöiden parempi peittävyys

Olen käynyt läpi lukuisia testejä, mutta en ole kyennyt parantamaan nollasta lähtevää tekijöiden luonnollista jakaumaa. Jos jonkin tekijän sijaintia muuttaa siten, että se täyttäisi aukon origo +1 tai origo - 1, se jättää jälkeensä 2 uutta aukkoa - niihin kohtiin, joissa se alkujaan oli alkulukuna - eikä tietenkään mikään muu tekijä paitsi 2 pystyisi peittämään kerrallaan 2 ruutua, joiden välimatka on 2 - mutta jos lukua 2 siirtää, se jättää jälkeensä vielä enemmän aukkoja.

Olen nykyään vakuuttunut, että luonnollinen jakauma on paras mahdollinen koko alueen peittävyyttä ajateltuna - tai vähintäänkin jakaa parhaan tulokset jonkin toisen jakauman kanssa. Tämä johtuu siitä, että

a) kun nollakohta on kaikkien tekijöiden yhteinen nollakohta, syntyvät aukot vain tämän yhden kohdan ympärille. Jos tekijöiden nollakohtia on useampia, on vaarana että myös vierustavia aukkoja syntyy useampia.

b) kun suuremmat tekijät lähtevät pisteestä, jossa on tekijänä 2 ja 3, ne voivat heti kummassakin suunnassa peittää aukon, ennen kuin astuvat ulos alueelta. Jos päin vastoin suuri tekijä sijoitetaan haluttuun aukkokohtaan keskemmällä aluetta, se astuu kummassakin suunnassa seuraavaksi parilliseen ruutuun, eikä siitä ole hyötyä. Lisäksi se astuu jommassa kummassa suunnassa myöskin kolmella jaolliseen lukuun.

Aukkokohtien väliset etäisyydet matriisissa.

Matriisin aukkokohtien väliset etäisyydet ovat aina 4 tai 6 (tai 4+6=10 tai 4 + 4 = 8 tai 6+6=12). Koska mikään muu alkuluku paitsi 2, 3 tai 5 ei kykene ottamaan suoraan tämän mittaisia askelia, eivät isommat tekijät ovat kovinkaan suureksi avuksi. Kun ne täyttävät yhden aukon, niiltä kestää aikaa ennen kuin ne taas löytävät ruudun, jossa niistä on mitään hyötyä.

Merkittävin poikkeus on matriisin nollakohta. Siitä katsottuna ne täyttävät suoraan kumpaankin suuntaan aukon - koska ruutu, johon ne astuvat, ei voi olla jaollinen nollakohdan muilla tekijöillä.

Näin ollen, kun luonnollisessa jakaumassa kaikki käytössä olevat tekijät kohtaavat samassa ruudussa, ne kaikki astuvat seuraavaksi ruutuun - kummassakin suunnassa - jossa ei ole muita tekijöitä. Alueelle 2n ovat tällöin tekijät 2 - n maksimaalisesti hyödynnetyinä.

Ja koska luonnollisessa jakaumassa syntyy uudet alkulukut kohtiin +1 ja -1, ei loogisesti ole mahdollista, että tekijät 2 - n voisivat täyttää alan 2n +1. Vaikka meillä olisi käytössä yksi lisätekijä, se voisi täyttää vain toisen ruudun kerrallaan - ja jos liikutamme jotakin muuta tekijää, syntyy 2 aukkoa tuon yhden peitetyn tilalle.


Osa 3: täsmällisempi lähestymistapa

On myös toinen keino todistaa, että alueen pinta-ala on vakio: 2n +1. Tätä todistusta seuraamalla me pystymme määrittämään tekijöiden sijainnit huomattavasti tarkemmin.

Tiedämme siis, että alueen alkupiste on "n x n", ja sen loppupiste "(n +1) x (n+1)". Näin ollen pisteen n x (x+1) täytyy sijaita tuon alueen sisällä.

Etäisyys pisteestä "n x n" pisteeseen n x (+1) on aina sama: "n". Samoin etäisyys pisteestä n x (n+1) pisteeseen (n+1) x (n+1): n +1.

Näin ollen koko alueen alan täytyy olla n + n + 1, eli 2n + 1

Piirtämäni kuvio osoittautuu kuitenkin arvaamattoman arvokkaaksi. Meidän ei tarvitse tietää luvun n arvoa, jotta saisimme selville liudan uusia asioita.

Legendre Sudoku

Jos siirrymme ruudusta n x (n+1) yhden "n+1" pituisen askelen taaksepäin, löydämme ruudun, jossa tekijänä on "n-1"

Voimme jatkaa tällaista hidasta analyysi ja lopulta voimme ratkaista alueen tekijät kuin kyseessä olisi sudoku. Vierekkäisten "kompleksisten tekijöiden" ratkaiseminen on äärimmäisen hyödyllistä, sillä luvuilla, jotka sijaitsevat toistensa naapureina, ei voi olla samoja alkutekijöitä.

Puhun nyt kompleksista tekijöistä, koska luku n saattaa olla vaikka kuinka monen tekijän tulo - varsinkin kun kyse on ongelman ratkaisemisesta äärettömän laajalla janalla.

Tiedämme lähtökohtaisesti, että luvuilla n ja n+1 ei voi olla ainuttakaan yhteist tekijää. Tiedämme myös, että koska ne ovat vierekkäisiä lukuja, niistä toinen sisältää tekijän 2. Näin ollen voimme olla varmoja siitä, että niiden yhteisessä tulossa, eli pisteessä "n x (n+1)" sijaitsee tekijä 2. Emme tietenkään tiedä kumman mukana se on tullut, ja vuoron perään se kuuluu kumpaankin alkeistekijänä.


Matriisin kautta voittoon

Piste n kertaa n+1 son siis parillinen. Luvun 2 lisäksi siinä on vähintään yksi toinen tekijä (vaikka todennäköisesti useampiakin). Koska kyseinen ruutu ei ole yhden tekijän monikerta, se on toisin sanoen jonkin tietyn matriisin nollakohta.

Legendren matriisi

Kaikki matriisit peittävät nollakohdasta katsottuna molempiin suuntiin omien tekijöidensä mittaiset etäisyydet. Kaikki matriisin aukkokohdat voidaan määrittää helpoiten siten, että lisätään ja vähennetään nollakohdasta matriisiin kuulumattomien tekijöiden pituinen matka.

Legendren alan ratkaisut löytyvät siis aina kohdista, jotka näkyvät kuvassa: käytössä olevien tekijöiden - niiden, jotka eivät kuulu puolivälin nollakohtaa - etäisyys nollakohdasta. Koska luku 2 sisältyy nollakohtaan, voisin tietenkin ehostaa kuvaa lisäämällä siihen parillisen ruudukon.

Lisäksi ongelmallisia ovat kohdat +1 ja -1 puolivälistä katsottuna.

Jos jokin tekijöistä P3 nuoli Px < n on peittämässä kohtaa -1 tai + 1, se ei pysty kumpaankaan suuntaan peittämään omaa alkulukuaan. Lisäksi tiedämme, että nollakohdan vierustava ruutu +1 tai - 1 on pariton (koska nollakohta n x n+1 on parillinen). Tästä seuraa, että tekijä Px astuu kumpaankin suuntaan seuraavaksi parilliseen ruutun - mistä seuraa, ettei tuo ruutu voi olla alkuluku - mistä seuraa, että tekijä Px jättää todennäköisesti jälkeensä 2 aukkoa peittäessään yhden.

Kaksi erillistä tekijää olisi sijoitettava matriisin ruutuihin -1 ja +1. Vaikka tekijöitä olisi käytettävissä lähes ääretön määrä, kaikki edellä sanottu pätee.

Oma korjaukseni Legendren konjenktuuriin olisi se, että tutkittavalla välillä on AINA VÄHINTÄÄN 2 ALKULUKUA. Jätän tähän kuitenkin pienen varauksen, sillä muistamme, että tutkittava alue ei ole 2n vaan 2n+1 - ja koska ulkoraja on n+1 potenssiin 2, saattaisivat sekä n+1 että n-1 olla alkulukupari - ja varteenotettavien tekijöiden maksimaalisen peittävyyden suhde alaan menisi parhaimmillaan hyvin tiukalle - ei kuitenkaan missään nimessä täytyisi. MOT.

Jos jollekin jäi jotain epäselväksi, tässä on vielä yksi kuva, josta näkyy todellisten ratkaisujen anatomia. Tekijöitä katsomalla asiat siis jälleen kerran selkiytyvät.

KLIKKAA ISOMMAKSI!

Ratkaisujen anatomia.

Kuten kuvasta näkyy, kaikki nollakohdat (keskellä) ovat parillisia - ja tulevat olemaan. Useimmat alkuluvut ovat muotoa -1 tai +1, mutta tämä ei ole mikään vakio - ainoastaan suuri todennäköisyys.

Vakio on kuitenkin se, että ratkaisuja löytyy. Kuten ennustin, ne ovat muotoa: nollakohta +/- tekijä, joka ei siihen kuulu. Esimerkiksi nollakohta 20 ei olekolmella jaollinen, joten kummaltakin puolen löytyy rarkaisu, joka on kolmen askelen etäisyydellä.

Vastaavasti 42 ei ole viidellä jaollinen, joten ratkaisut ovat viiden askelen päässä:
37 = 42 -5
47 = 42 +5

(Huomautettakoon vielä, että vaikka luku 7 on tekijänä luvussa 21 (20+1) se ei ole varteenotettava tekijä ennen kuin ruudusa 49 (7x7). Ainoa huomioitava tekijä on siis tuossa vaiheessa luku 3.)


Lopuksi

Legendren konjenktuuri on tutkituista kolmesta matemaattisesta ongelmasta mielestäni helpoin. En ole voinut esittää tässä kaikkia yksityiskohtia, koska oletan, että aiemmat osat lukeneelle henkilölle ne ovat jo avautuneet.

Todellisissa tilanteissa tekijät eivät tietenkään ole tarkoituksenmukaisesti sijoittuneita. Ne eivät yritä estää alkulukujen syntymistä - mutta tällä esityksellä tahdon osoittaa, että vaikka me saisimme vapaalla kädellä sijoittaa ne maksimaalisen peitävällä tavoin alueelle, ne eivät siltikään riittäisi.

Voimani alkavat tämän hyperfokusoituneen ja siitepölyoireilla piinatun toukokuun osalta ehtyä, mutta yritän seuraavassa osassa vielä kerran palata alkulukupareihin ja Goldbachin hypoteesiin. Laskeskelin päässäni, että täydellisen ja aukottoman todistuksen esittämiseen tarvitsisin vielä paljon paljon paljon sivuja ja kaavakuvia, mutta muutaman asian haluan sanoa pikaisesti, ennen kuin lähden Belgiaan ja juhannuslomille.

2 758 tiedostoa

Viimeinen viikko Villa Sarkian kirjailijaresidenssissä. Alkuperäisestä neljästä tavoitteesta on täytetty kaksi: 1) kokoa uusi runokäsikirjoitus sekä 4) julkaise vihdoinkin blogissa jotain konkreettista Goldbachin hypoteesista ja alkuluvuista.

Kuten tapoihini kuuluu, kävin ensimmäiseksi vähiten oleellisen tavoitteen kimppuun ja käytin siihen aivan liikaa aikaa ja energiaa. Onneksi sain heti sen jälkeen itseäni niskaotteen ja toteutin kuukauden ykköstavoitteen. Käsikirjoituksen ensimmäisen versio on tietenkin hutera ja sitä täytyy vielä muokata. Kunhan kuluu muutama kuukausi niin tekstiin saa vähän etäisyyttä.

Toivottavasti toisella kierroksella olisi kustannustoimittaja auttamassa. Edellinen kustannustoimittajani sai potkut viikko sen jälkeen kun pikkujouluissa olimme jutelleet tulevaisuuden projekteista, ja olen vähän tuuliajolla. Nykyisessä taloustilanteessa juuri kukaan ei ole kiinnostunut runouden julkaisemisesta, joten kaikki on epävarmaa.

Huomenna käyn paikallisessa palvelutalossa lausumassa runoja. Lainasin kirjastosta Uuno Kailaan ja Kaarlo Sarkian kootut teokset ja lausun niitä omien runojeni ohella. Uuno ja Kaarlo ovat tärkeitä hahmoja paikallishistoriassa. Sysmässä sijaitsee talo, jossa Sarkia kuoli, ja naapuripitäjässä Hartolassa on museioituna Kailaan takki. Muitakin yhteyksiä toki on, mutta ei niistä sen enempää.


Tavoite nro 2

Valmistelen myös essee-kokoelmaa, jonka aiheena on relativismi. Suunnitelmissani oli julkaista blogissa kaksi tai kolme juttua aiheesta, mutta alkuluvuista syntyi jo 10 juttua, joten se projekti siirtyy myöhemmäksi. Joka tapauksessa tahdon saada relativismin käsiteltyä monelta kantilta, koska uskon sen olevan esseitteni kokoava elementti. Kaikkien Asioiden Pikkujättiläisessä on kyse siitä, ettei mikään tutkimusmetodi tai aihe saisi olla hallitseva. Toki hallitsevia aiheita on monia, mutta se menee minun henkilökohtaisen heikkouteni piikkiin. Ohjelmanjulistukseni on silti tiukasti kiinni pluralismissa ja relativismissa. Kukaan ei voi olla täydellisen johdonmukainen omassa -ismissään.

Relativismi on parjattu ja pelätty sana. Jostain syystä sen ajatellaan johtavan hirvittävyyksiin ja kaikensallivaan löperään ajatteluun. Kukaan ei uskalla tunnustautua relativistiksi.

Olen googlettanut sanaa, ja tulokset ovat selkeät: noin 90% maininnoista ovat sävyltään negatiivisia. Keskustelussa näyttäisi olevan vallalla tilanne, että tietyissä tilanteissaheitetään pöytään syyttävä "relativisti-kortti", jos henkilön kannattamissa arvoissa tai argumenteissa on jotain postmodernia hämäryyttä. Hyvän ihmisen arvomaailman kuuluu olla selkeä ja ennustettavissa. Jos joku syleilee liian monia näkökulmia, hänen puolueuskovaisuudestaan tulee epämääräinen ja häntä syytetään relativistiksi. Sävy on pahimmillaan yhtä tuomitseva kuin vilautellassa natsikorttia. Itse asiassa monet eivät näe suurtakaan eroa relativistin tai nihilistin (tai anarkistin) välillä. Relativismi tekee ihmisestä vaarallisen ja arvaamattoman.

Tilanne on keskustelun tason kannalta typerästi vinoutunut, koska väittelyssä täytyy olla kaksi osapuolta. Jos kukaan ei halua puolustaa relativismia niin kai sen sitten täytyy olla minä. Lisäksi se tuntuisi olevan ainoa keino, jolla saan edes muutaman muiden esseitteni teemoista naitettua yhteen.


Tavoite nro 3

Tiesin, että tämä urakka on mahdoton, mutta ehkä se onnistuu pienissä osissa. Olen tallettanut muistitikulle kaikki vuosien 2000-2010 kirjoittamani runot ja muut hajanaiset tekstitiedostot. Niitä on yli kaksi tuhatta, joten kukaan ei tutki niitä läpi yhdessä rupeamassa.

Vaatimaton aikeeni onkin ainoastaan lajitella ja karsia. Siirrän yhteen kansioon ne tiedostot, joiden sisällön olen jo julkaissut jossakin. En tarvitse luonnoksia enää. Toiseen kansioon menevät kouluesseet, luentopäiväkirjat, hakemukset ynnä muut ei-kaunokirjalliset tuotteet.

Kolmanteen kansioon sijoitan roskan: surkeat runot ja hyödyttämät katkelmat. Neljänteen kansioon esseiden aihelmat ja filosofiset pohdinnat. Viidenteen kansioon runot, joissa näen jotain potentiaalia. Kuudenteen kansioon novellit ja keskeneräiset romaanit. Niitä en aio ollenkaan edes lukea. Siihen ei olisi aikaa. Siirrän vain yhteen kansioon kaiken minkä tunnistan proosaksi.

Kun aloitin, minulla oli yhdessä kansiossa 2758 tiedostoa, osin kaksoiskappaleita. Tein eilen kolme tuntia töitä - ja sain lajitelluksi siinä ajassa noin 350 tiedostoa. Seitsemän samanlaista päivää ja homma on valmis. Se ei tule tapahtumaan toukokuussa 2012... elokuuhun mennessä ehkä?

Tässä muutama runo, joita en muistanut edes kirjoittaneeni:

Rakkausruno vaimolle

Tahdon rakastaa sinua,

en sitä naista, jonka tunnen.

Neron hourailuja

Olen niin taitava!

Tuskin kuka tahansa

osaisi samassa ahdingossa

olla yhtä onnellinen!

Bushin virkaanastujaispuhe (2003)

(Hoilataan käsi lipassa)

Demoninen kansa

nuo idän rättipäät.

Syövät omat lapsensa

ja nenästänsä räät.

Jumala on puolellamme,

johtajamme jalo,

kiiltävällä nuolellamme

saapuu rauhan valo.

Emme tingi aseistamme,

saati kaloreista.

emme piittaa saasteistamme,

siviiliuhreista.

Dollari on puolellamme,

öljykenttäin palo,

kiiltävällä nuolellamme

saapuu rauhan valo.

Hirteen hipit, pitkätukat,

sivaripaskiaiset.

Ne on kaikki hinttejä

ja vievät meidän naiset.

Viha, sokeus puolellamme,

isänmaassa talo,

kiiltävällä nuolellamme

saapuu rauhan valo.

Tyttöystävä

Tyttöystävä on

sellainen tyttö

jota saa koskettaa paidan alle

ja vaikka minne

eikä se heti

huuda hyi! tai irti!

Paha henki meni Raimoon.

Siihen on helpompi uskoa

kuin että me

olisimme jotenkin kohdelleet häntä väärin.

Uuno Kailas sivuluisussa

Oli kuulas helmikuun päivä 1929. Uuno Kailas käveli kadulla, kun jalka osui jäiseen kohtaan. Silloin horisontti meni jotenkin vinoon ja päässä kopsahti. Uuno ajatteli, että tämä on varmaan jokin huimauskohtaus tai halvaus. Hän yritti kävellä, mutta jalat sutivat tyhjää.

Ohitse kulkeva herra huomasi, että mies oli kaatunut. Hän lähestyi rohkeasti ja havaitsi, että sehän on se kuuluisa runoilija. Ohikulkija ei kehdannut kommentoida tilannetta, voivotteli vain ja tarjoutui kutsumaan lääkärin.

Lääkäri tiesi välittömästi mistä oli kyse: mies oli selvästi liukastunut ja makasi nyt koko pituudeltaan maassa. Hän ei kuitenkaan tuntenut sopivaksi sanoa sitä ääneen, varsinkin kun paikalle oli kertynyt jo melkoinen määrä uteliasta väkeä. Lääkäri suositteli, että potilas pukeutuisi lämpimästi ja joisi kuuman rommitotin.

Rapussa asuva mummo oli tarkkaillut tapahtumia alusta alkaen. Mummo toi villapaidan ja sekä viltin, ja yhdessä lääkärin kanssa he auttoivat Uunoa pukeutumaan. Lääkäri lisäsi vielä, että oli nähnyt tällaisia tapauksia aiemminkin. Jotenkin siitä aina selvittiin, ja matka jatkui.

Kun Uuno seuraavana aamuna heräsi, hän näytti yhäkin sijaitsevän jäisellä kadulla, ja horisontti pysyi sitkeästi vinossa. Hän päätteli, että vaivan täytyi olla henkistä laatua, joten hän pyysi paikalle psykoterapeutin.

Kokenut ammattilainen näki heti mistä oli kyse: taas yksi taiteilija oli kumollaan. Terapeutti ei kuitenkaan katsonut tarpeelliseksi paljastaa havaintoaan; potilas kyllä itse ajallaan tulisi tietoiseksi. Hän antoi diagnoosin: kvalitatiivisia ja kvantitatiivisia anomalioita - siitä johtui horisontin vinoutuminen. Täytyy vain levätä. Kevätaurinko kyllä vie pois kaikki vilut.

Uuno vaistosi, ettei tämäkään tohtori ollut aivan vilpitön. Hän itse päätteli, että kaikki varmaan johtui siitä, että hän oli sodomiitti. Ja varmaan myös tuo ansioitunut kallonmittaaja näki sen, ei vain uskaltanut sanoa ääneen. Oliko tämä hänen eriskummallinen tilansa nyt sitten Jumalan kosto vai tahtoiko yhteiskunta lannistaa hänet heteroksi?

Silloin aivan sattumalta paikalle saapui Kaarlo Sarkia. Hän näki jo kaukaa, että Uuno oli kaatunut, mutta ei halunnut kohdata ystäväänsä siinä tilassa, vaan kääntyi ympäri ja käveli hienotunteisesti tiehensä.

*  *  *
Julkaistu Aukeassa 2009.

Uuno on yksi suurista. Paljon kovempi kuin esimerkiksi Eino Leino. Einosta en edes viitsi kirjoittaa, vaikka Jumalien keinu onkin ihan hyvää shittiä. Historia tuntee ainakin yhden tapauksen, jolloin nämä kaksi herraa mittasivat voimiaan. Vuonna 1925 Nuori Voima järjesti pöytälätkäturnauksen, jonka välierässä kohtasivat Eino Leino ja Uuno Kailas. Ottelu meni jatkoajalle, ja lopulta Uuno voitti luvuin 3-2. Finaalissa vastaan asettui puolustava mestari Olavi Paavolainen, jolla oli napakka ranneliike ja joka odotetusti vei nimiinsä koko turnauksen.

Goldbach The Game 2/2

Katsotaan käytännössä mitä aiemmassa esimerkkitapauksessa n=24 lopulta tapahtuu.

Luku 3 hyökkää.

Tekijä 3 ohittaa muut vastapuolen sotilaat, mutta lyö laudalta valkoisen nro 3. Tämä on ennakoitavissa, koska luku n=24 on 3:lla jaollinen. Niinpä kolmonen ei voi olla sen ratkaisu. Jos kolmella jaolliseen lukuun lisätään 3 tai siitä vähennetään 3, uusi luku on myöskin kolmella jaollinen. Niinpä se ei voi olla alkuluku.

SÄÄNTÖ 1: Mikään tekijä, joka jo kuluu osaksi tutkittavaa parillista lukua n, ei voi olla Goldbachin hypoteesin ratkaisu P - paitsi, jos luku n on muotoa 2P, jolloin sen ratkaisu on P + P.

Koska valkoinen kolmonen ja musta kolmonen kohtaavat, ei musta kolmonen voi missään tapauksessa lyödä laudalta mitään toista nappulaa. Tiedämme tämän varmuudella, sillä...

SÄÄNTÖ 2: Jos luku X on tekijänä luvussa n, niiden yhteinen matriisi on symmetrinen. Silloin kummastakin päästä katsottuna sama tekijä X astuu samoihin ruutuhin. Valkoinen 3 kulkee mustan 3:n jalanjälkiä ja toisin päin. Me tiedämme, ettei mikään alkuluku ole kolmella jaollinen (paitsi 3). Tämä pätee myös katsottuna toisesta origosta, jos kyseessä on sellainen matriisi, jonka tekijä on 3.

luvun 3 symmetria.

Mustan puolella pelilautaa mikään alkuluku ei ole 3:lla jaollinen, joten myöskään valkoisen puolella mikään alkuluku ei ole kolmella jaollinen - toisin sanoen, musta 3 ei voi koskea niihin.

SÄÄNTÖ 3: Mitä useampia tekijöitä luvulla n on, sitä enemmän pelikentällä vallitsee symmetria - ja sitä enemmän ratkaisuja on Goldbahin hypoteesilla tuon kyseisen luvun kohdalla. Todistan tämän myöhemmin.


Varteenotettavat tekijät ja nynnyt tekijäkokelaat

Luku n=24 ei ole viidellä jaollinen, joten katsotaan mitä tapahtuu seuraavaksi.

luku 5 hyökkää

Luku 24 ei ole 5:llä jaollinen, joten ohitettuaan puolivälin, luku 5 ei enää astu samoihin ruutuihin kuin omalla puolellaan pelikenttää (etäisyys puolivälistä muuttuu, toisin kuin luvulla 3!) Niinpä sillä on hyvät mahdollisuudet torpata mikä tahansa vastapuolen luku - tai useampikin.

Valitettavasti tällä kertaa 5 on suutari.

Enempää lukuja meidän ei tarvitse enää edes tutkia. Tiedän jo lopputuloksen. Ja mistäkö sen tiedän? - Koska tekjät ovat vaarattomia, jos ne ovat suurempia kuin neliöjuuri n. Tässä tapauksessa siis kaikki viitosta suuremmat - ja myös niukasti luku 5 itse - ovat täysin harmittomia. Ne eivät voi lyödä ainuttakaan vastapelaajaa.

SÄÄNTÖ 4: Mustan hyökkäyskalustoon kuuluvat ainoastaan luvut, jotka ovat pienempiä kuin neliöjuuri n. Kaikki sitä suuremmat luvut eivät ole vielä kypsyneet varteenotettaviksi tekijöiksi.

TODISTUS: Katsotaan ensin mitä alkuluvuille 7 ja 11 tapahtuu, kun ne astuvat vihollisen maaperälle.

7 ja 11

Luku 11 astuu ruutuun 2 x 11 = 22. Luku 7 astuu ruutuun 2 x 7 = 14. Tämä on täysin hyödytön liike molemmilta, koska tiedämme, että luku n on jaollinen kahdella. Kaikki Goldbachin Pelin areenat ovat jaollisia kahdella, se on hypoteesin lähtökohta. Näin ollen parilliset luvut ovat mustalle ja valkealle symmetrisiä.

Symmetria-säännöstä tiedämme, että symmetriset ruudut eivät voi olla alkulukuja. Parillinen ruutu mustan origosta katsottuna on parillinen luku myös valkoisen origosta katsottuna. Suuret alkuluvut astuvat vihollisen maaperällä ensin parilliseen ruutuun - ja sitten hyppäävät kokonaan pois laudalta. Niistä ei ole mitään vaaraa, koskaan!

Luku seitsemän astuu seuraavaksi ruutuun 3 x 7 - tietenkin, koska se on kolmas seitsemällä jaollinen luku. Me tiedämme jo valmiiksi, että luku 3 on lyönyt laudalta oman vastinparinsa, joten kolmella jaolliseen ruutuun astuminen ei hyödytä mustaa millään tavoin.

Seuraava ruutu, johon musta 7 astuisi, olisi 4 x 7 - jälleen parillinen luku, täysin dyödytöntä.

Sitten 5 x 7 - mitä apua tästä on, koska luku 5 olisi jo käynyt paikalla tyhjentämässä ruudukon.

Taas parillinen 6 x 7 - aivan hyödytöntä. Koko 7 on aivan tarpeeton ennen kuin se saavuttaa ruutua 7 x7 - ja sen saavutettuaan on mahdollista, ettei kyseisessä ruudussa edes ole vastustajan alkuluku-nappulaa.

Luvun 11 tie olisi vielä vaivalloisempi. Sen astuessa ruutuun 7 x 11 olisi luku 7 jo käynyt paikalla, eikä seuraava askel 8 x 11 olisi yhtään sen parempi: parillinen. Sitten 9 x 11 - kolmella jaollinen, kolmonen on käynyt jo täällä. Sitten parillinen. Vasta luku 11 x 11 hyödyttäisi mitään - mutta siinä ei välttämättä ole vastustajaa.

Sääntö 4 pätee siksi, että kaikki uudet, suuret alkuluku-kokelaat etenevät ruudukossa samaan tapaan. Ensin ne tutustuvat kaikkiin aiempiin tekijä-kavereihinsa: 3, 5, 7 jne. sekä koluavat läpi myös kaikki parilliset ruudut. Vasta kohdattuaan itsensä - ruudussa P potenssiin 2 - alkuluku on valmis sotaan. Se tuntee aiempien tekijöiden matriisin, ja osaa nyt omin voimin haastaa vastapuolen alkulukuja.

LOPPUTULOS: Näemme nyt Goldbachin hypoteesin ratkaisut luvulle n. Katsotaanpa tarkkaan pelilautaa:

Ratkaisut luvulle n=24.

Ratkaisuja on kolme:

11 + 13
7 + 17
5 + 19


Ylivoimainen vastustaja

Pelin säännöt ovat meille nyt tuttuja. Mietitään uudestaan, kannattaako meidän lyödä vetoa mustan puolesta? Voivatko tekijät neliöjuuri n koskaan yhteistuumin lyödä laudalta kaikkia alkulukuja välillä 1/2n - n? Valkoisella on käytössään koko alkuluku-arsenaali, ja jokainen laudalle jäänyt nappula on ratkaisu hypoteesiin. Riittää, että ratkaisuja on yksi.

Neliojuuri on armoton karsintaväline. Aluksi näyttäisi, että osapuolet ovat tasavertaisia ja kyse on vain sattumasta. Mutta mitä suurempi on pelikenttä, sitä pienempi murto-osa on siihen suhteutettuna sen neliöjuuri. Katsotaan vaikka millaisia pelivälineitä on laudalla, kun n=100. Sen neliöjuuri on tällöin 10 - ja mustalla on käytössään vain tuota pienemmät tekijät.

Kaksi vastaan "aika monta"

Hups! Kaiken lisäksi luku 100 on jaollinen viidellä, joten sääntöjen mukaan tekijä 5 ei voi itsensä lisäksi syrjäyttää muita vastapuolen alkulukuja. Gulp!

Game Over man! Game F**king Over! Kyse ei ole enää sattumasta. Kyse ei ole enää pienestä, pienestä mahdollisuudesta. Kyse on teurastuksesta. Monen matemaatikon intuitio viheltää tässä kohtaa pelin poikki. Goldbachin hypoteesi on ratkaistu.

Tilanne ei myöskään tule paranemaan. Neliöjuuri antaa nyt epäreilun 1/10 tasoituksen valkoiselle, mutta kun n nousee miljoonaan, tulee tuo tasoitus olemaan luokkaa 1/1000. Lisäksi alkulukulause todistaa, että vaikka uusien alkulukujen esiintymistahti onkin laskeva, se ei noudata läheskään näin jyrkkää käyrää. Valkoisella tulee aina olemaan miesylivoima, ja hypoteesin ratkaisujen määrä vain kasvaa entisestään.

Tämä ei kuitenkaan vielä riitä minulle. Ymmärrämme tilanteen toivottomuuden, mutta haluan pitää huolen siitä, ettei mitään mahdollisuutta ole jätetty huomioimatta.

Haluan myös esittää Goldbachin hypoteesille tarkat analyytiset ratkaisut kullakin luvulla n. Sekin onnistuu, eikä haaste ole edes vaikea, nyt kun matriisien symmetrinen rakenne on esitelty, ja tiedämme melkoisen paljon varteenotettavien tekijöiden käytöksestä...

 
PS.
Tekijöistä luku 3 on erityistapaus - eräänlainen shakkipelin kuningatar. Tiedämme, että jokainen alkuluku on muotoa 6n-1 tai 6n+1.

Koska kolmosella on kolme mahdollista kulkureittiä, se voi säännöllisesti osua ruutuihin 6n+0, 6n-1 tai 6n+1. Jos se osuu aina ruutuun 6n+0, tutkittava alue on tietenkin kuudella jaollinen - ja samalla myös kolmella jaollinen. Jos Goldbachin ratkaisuja etsittäessä pelikenttä on kolmella jaollinen, pudottaa luku 3 pelistä pois vain itsensä, ei muuta.



Jos kolmonen osuu säännöllisesti ruutuihin 6n+1 tai 6n-1, se tarkoittaa, että se matkallaan mustan origosta valkoisen origoon pyyhkii tieltään KAIKKI alkuluvut, jotka ovat muotoa 6n +1 tai 6n -1. Toisin sanoen, se parhaimmillaan poistaa laudalta PUOLET vastustajan pelaajista.

Tästä seuraa, että jos Goldbachin konjenktuuriin koskaan löytyy poikkeus, kyseinen luku ei voi olla 6:lla jaollinen. Peli ei mitenkään voisi ratketa mustan eduksi, ellei sillä olisi tätä jokeria hihassaan.


PPS.
Lisäksi haluan esitellä vielä kolmannen alkuluku-ongelman: onko välillä "n toiseen" ja "n+1 toiseen" aina alkuluku? Siitä seuraavaksi.

Goldbach The Game 1/2

GOLDBACHIN HYPOTEESI, OSA 7 /9

Goldbachin konjenktuuri väittää, että kaikki parilliset kokonaisluvut voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana. Kuinka lähestyä tällaista ongelmaa?

Kuvitellaan peli, joka perustuisi Goldbachin väittämään. Siinä olisi pelikenttä, joka koostuisi luonnollisista luvuista sekä kaksi osapuolta, musta ja valkoinen. Jos hypoteesi vahvistetaan, valkoinen voittaa - mutta jos se murtuu, voittaja on musta.

Tietyt pelit voidaan lopullisesti ratkaista. Jos osapuolet tuntevat täydellisesti nämä ratkaisut, kadottaa pelaaminen mielekkyytensä. Kuvitellaan vaikka kaksi tietokonetta, jotka on opetettu pelaamaan yhdeksän ruudun tic-tac-toe peliä, eli suomeksi ristinollaa. Kaikki ratkaisut on laskettavissa helpolla algoritmilla, joten käytännössä tietokoneet päätyisivät ikuisesti ratkeamattomaan tasapeliin.

Onko Goldbach the Game mielekäs peli? Pystyykö siitä esittämään mallin, joka sisältää kaikki ratkaisut? Voiko musta missään olosuhteissa voittaa?

Tämä kirjoitus ei esittele vielä lopullista ratkaisua, ainoastaan tavan hamottaa ongelma. En ole luonut peliin omia sääntöjä vaan ne kaikki ovat johdettavissa itse hypoteesista.

Kun mahdottoman tuntuista ongelmaa koettaa hahmottaa erilaisista näkökulmista, meidän intuitiomme tekee työtä. Saamme lopulta vahvan tuntuman siitä, kannattaako meidän veikata mustaa joukkuetta vaiko valkoista.


Pelikenttä

Konjektuurin omaan määritelmään sisältyy, että luku on kaikissa tapauksissa parillinen (huom. Goldbachin hypoteesi voidaan muotoilla kattamaan myös parittomat luvut, mutta silloin täytyy summata kolme alkulukua.) Parillisista luvuista me tiedämme, että ne voidaan jakaa kahteen yhtä suureen osaan. Niinpä teemme sen saman tien ja näin muodostuu pelikenttä: jana 0 --> N, jossa puolivälin n/2 on myöskin kokonaisluku.

Pelikenttä 0 --> N

Valkoinen asettaa omat pelinappulansa omalle puolelleen lautaa (kultainen väri) ja musta tekee samoin (punainen). Pelinappuloina toimivat alkuluvut. Esimerkkitapauksessa N=24. Toisessa päässä on nolla, kuten aina.


Kaksoissymmetria

Aiemmista esityksistäni tiedämme, että kun kahdella saman mittaisella lukujanalla on yhteinen origo ja samat tekijät, ne ovat sisäisesti symmetrisiä. Ne ovat käytännössä sama matriisi, jossa vain origoa on siirretty. Tämän voi ilmaista myös toisin: Parillisella luvulla N sekä luvulla N / 2 (n jaettuna kahdella) on identtiset tekijät - sikäli kun luku 2 jätetään huomioimatta. (Luku 2 ei ole pelissä oleellinen, koska se ei voi toteuttaa Goldbachin hypoteesia minkään muun alkuluvun kanssa. 2+2 = 4 on eräänlainen ratkaisu, mutta kaikki muut alkuluvut ovat parittomia, joten summa A + 2 ei voisi olla parillinen).

Tässä tapauksessa N = 24, joten sen tekijät ovat 2 sekä 3. Myös puolivälin luvulla 12 on tekijät 2 sekä 3. Jos jokin luku on tekijänä luvussa N, se on tekijänä myös luvussa N/2 - ja toisin päin.

Kaikki parilliset luvut sisältävät tämän omia tekijöitään koskevan minimisymmetrian, mutta lisäksi hypoteesin ratkaisevat alkuluvut muodostavat oman symmetrisen rakenteensa: Jos vaikkapa luku 12 on esitettävissä ratkaisulla 5 + 7, siihen pätee myös 7 + 5.

Ratkaisujen symmetria: 5 + 7 = 7 + 5

Kun etsimme tietylle parilliselle luvulle N ratkaisuja, voimme kääntää lukujanan peilkuvaksi. Ei ole väliä onko origo oikealla vai vasemmalla. Kun pelin kaksi osapuolta asettavat nappulansa laudalle, he kumpikin ajattelevat seisovansa pelilaudan nollakohdassa.

Jos ratkaisu löytyy yhdestä suunnasta, se löytyy myös toisesta suunnasta.

Pelilaudalle ei tästä syystä ole tarvetta asettaa lukua N/2 suurempia alkulukuja. Symmetriasta tiedämme, että jos hypoteesin ratkaisun toinen osapuoli tunnetaan, se riittää. Etsimme rakaisun osapuolta, joka on pienempi kuin puoli-N.

(Hypoteesia ei tietenkään olisi mahdollista ratkaista kahdella luvulla, jotka molemmat olisivat suurempia kuin puoli-N - tai jotka molemmat olisivat sitä piemempiä. On kyllä mahdollista, että ratkaisu on puoli-N, esimerkiksi, jos N = 14, sen ratkaisu on 7 + 7.)



Pelin eteneminen

Vielä emme ole määritelleet pelille sääntöjä. Tiedämme vain, että valkoisen pyrkimyksenä on todistaa hypoteesi ja mustan tarkoituksena kumota se. Pelinappuloita on kummallakin yhtä paljon ja myös pelialue on jaettu tasan. Mikä kumma sitten tekee pelistä niin epäreilun mustaa kohtaan?

Kun peli alkaa, laudalle asetetut mustan nappulat eivät enää ole alkulukuja. Ne ovat sotureita, joiden tarkoitus on lyödä vastustajan kaikki nappulat laudalta.

Kun mustan alkuluvut lähtevät liikkeelle ja astuvat vihollisen maaperälle, niistä tulee tekijöitä. Jos ne osuvat vastustajan alkulukunappulan lähtöruutuun, ne samalla mitätöivät sen. Tuo kyseinen alkuluku ei voi enää osallistua hypoteesin ratkaisuun.

Musta 7 saa osuman valkoisen 3:een ruudussa 21!!!

Kun mustan nappula X on ottanut Y määrän askelia, se on arvoltaan X kertaa Z. Se ei voi olla enää alkuluku, sillä se on jaollinen luvuilla X ja Y - tässä tapauksessa X = 7 ja Y = 3. Valkoisen alkuluku 3 on saanut kuolettavan osuman, eikä enää nouse.

Kun hyökkääjä on saapuut kohtaan A, jossa vastustajan alkuluku seisoo, se sijaitsee oman koordinaatistonsa kohdassa N miinus A. Jotta Goldbahin hypoteesi luvulla N toteutuisi arvolla A, täytyisi myös luvun N miinus A olla alkuluku. Sitä se ei ole, koska mustan omasta suunnasta katsottuna tämä luku on jaollinen. Siinä sijaitsee nyt tekijä, ei alkuluku.

Tämä on yksi niistä lukuisista tavoista, joilla alkuluku voi kokea metamorfoosin ja kehittyä Tekijäksi. Mustan näkökulmasta jokainen tällainen soturi on kun shakki-pelin mitätön alokas, joka on ontunut yksi askel kerrallaan ja selvinnyt vihollisten alueiden lävitse viimeiselle rajalle asti ja kohonnut kuningattareksi!

Jos jokainen mustan nappula vain kykenisi samaan ja löisi edes yhden vastustajansa, ei luvulla N olisi ratkaisua. Mutta miksi ihmeessä musta ei näytä kertaakaan onnistuvan haasteessa? Miksi Goldbachin hypoteesi on niin sinnikäs?

Ratkaisujen määrä (Wikipedia)

Kuvassa siis kaikkien toteutuneiden alkuluku-summien määrä kunkin parillisen kokonaisluvun kohdalla. Toteuttavien ratkaisujen määrä kasvaa nopeasti tuhansiin, eikä notkahduksia ole. Myöhemmin selitän miksi ratkaisut hajautuvat kuin valo prismassa. Ilmiö on helppo selittää.


PS. Seuraavassa Pelin Strategiaa esittelevässä osassa opimme miksi tekijäkokelaat, eli vasta liikkeelle lähteneet alkuluvut ovat niin onnettomia pelinappuloita, ettei mustalla ole mitään toivoa. Näemme kuinka Goldbachin ratkaisu itse asiassa selittyy tekijäkokelaiden tumpelomaisella tehottomuudella, ei suinkaan alkulukujen maagisella voimalla. Liity siis jälleen huomenna seuraamme ihmeellisessä jatkokertomuksessa, jossa luvut ottavat mittaa toisistaan!

Kaarlo Sarkia & Runoilijain ärryttimet

FOUND POEM.

On kieltämätöntä, että myös suhtautuisessa Kaarlo Sarkiaan on ollut huomattavissa tiettyä joustamatonta vanhoillaanpysyttelyä.

Elettiin "tulenkantajain" melskeisimmän rynnistyksen päiviä.

Romanttisen halajoivassa, huikaistuneessa tai hellien palvovassa tunnelaadussa on eräänlaista kuumaa alttiutta, ja niissä värähtelee jo, varsinkin eron murtumusta kuiskaavissa säkeissä, se ikävöinnin haltioikkuus ja se sielukas hurmio...

Sanallis-rytmillisen toteutuksensa herkkyyden ja kuviensa hienon päilynnän ansiosta ovat eräät niistä - esim. "Ikkuna" - hyviä saavutuksia.

*

Se kerä, se salaisen kärsimyksen panostuma, joka purkautumaan lähtiessään pakottaa Sarkian runon suorittamaan suurta, nousevaa ja laskevaa kaariliikettä.

Mutta mikä sitten on tuo sykkivä kuroutuma, joka ärryttää ihmismielen tällaiseen levottomuuteen?

Kenties uskaltaa viittailla asian selittymisen siten, että tuollaisen kipukohdan syntymiseen tarvitaan tietty hankaus sielussa.

*

...vajoaa ajoittain itseinhoon. Kuvitellun kehnoutensa tilassa hän vertaa sieluaan rampaan, kyttyräselkäiseen, rujoon.

Heillä ei ole väistämisen, ei kompromissaamisen, ei huonouksiensa sietämisen eikä varsinkaan itsensä pettämisen muilla tavallista lahjaa.

He ovat myös intohimoisia - elleivät olisi, olisi hankaus heidän sielussaan liian höllä, siitä ei syntyisi sähköä.

Tuollainen ärrytin on produktiivisuudelle, etenkin taiteelliselle, hyvin edullinen.

Voitaisiin mainita viljalti runoilijoita, joiden luomistyön takana, monilla alkujoustimena, on jotakin edelläkuvatun kaltaista.

Itse Goethen kaikkiulotteisessa henkilöllisyydessä on uria, joita myöten on mahdollista taeta tällaisiin ärryttimiin.

*

Siinä alkaa piinan kehä pitkän laukeamisensa. Lähtöpisteessä havaittavat sykähdykset ovat tallennettuina itseyden pohjaa tähystävissä runoissa.

Katkeriin tuloksiin vieneen minuudentuijotuksen vastapainoksi runoilija lupaa rakentaa aivan uuden, haaveista kokoonpannun elämän.

Sairaus on myös elämänhalua lisäävä tekijä.

Ilmaukset, joihin tuhoutumisvietti oli purkautunut, merkitsivät vapautumista vaarallisesta viettymyksestä.

Parnassolaisen ja hellenistisen kauneudenkultin takaa vaistoamme tyypillisesti nuoren elämänpettymyksen pelon, aavistelevan ja narsistisen itsevarjelun, joka pitää eroa elämästä parempana kuin sen tahrojen syöpymistä sielun vielä sumentumattomaan kilpeen.

Kenties sentään on on syytä mainita, että Sarkia on käynyt raskaan sisäisen kriisin läpi.

Hän halajoi pois myös itse kaipauksesta, t ä s t ä kaipauksesta, ja tavoittelee kiinteää pistettä, mistä käsin saisi mielensä levottoman läikähtelyn laantumaan.

*

Baudelairen, joka keinotekoisesti hankki unia, täytyi kirjoittaa runonsa laivan kannella räpyttelevästä albatrossista.

Niin myös Sarkian, jolla albatrossia vastaa, jos mahdollista, vielä täyteläisempi tervapääsky-metafora.

*

Sarkialle ovat tyypillisiä kaikki sanat, jotka kuvaavat keinuntaa, aaltoamista, nousu- ja laskuvettä, sylkähtelyä, soudattelua ja vellontaa.

Tämä kaikki on tietenkin vastinetta hänen mielenkäynnilleen.

Hän kaipasi narkoosia.

*

Myös "Unen kaivon" rakkausrunoissa voidaan rinnakkaisesti irrallisuuslinjan kanssa seurata elämysten seestymistä.

Erillisesti huomautettakoon, että "Unen kaivossa" on pari suurta yksittäissaavutusta, joita on vaikea jättää maininnatta.

*

Niin reagointiin pakottavia kuin vasta läpäistyt ja yhä edessä olevat sotavuodet olivat olleetkin, siihen oli harva valmistautunut, että runoilija, jonka, jos kenen, luultiin vetäytyneen aukottoman muurin taakse, että juuri Sarkia, unien ja kauneuden eristäytynyt palvoja, saattaisi astua esiin aktiivisena yhteistuntojen kuuluttajana tai edes kipeimpäin yliyksilöllisten ongelmien kuvastajana.

Perehtyneimmille Sarkian lyriikan tuntijoille ei muutos ollut aivan odottamaton, ja jälkeenpäin ajatellen se tuntuu lainmukaiselta vuoroliikkeeltä, paluuheilahdukselta, mikä olisi pitänyt voida ennalta laskea.

*

Kysymyksessa on hidas kristalloituminen. Prosessin jouduttaminen tiivistymän sisästä käsin ei tällaisissa tapauksissa käy päinsä. Tarvitaan lisäksi jotakin ulkoapäin, jotakin kiehuvaa liuotinta.

Runoilija palaa siinä tähänastiseen keskusasiheeseensa, sielun levottomaan läikyntään.

Moni pettymys oli odottamassa. Erakoitunut sielu oli töytäyksille arka.

*

Mutta emme saa myöskään menettää toivoamme, että tuon meren jostakin pohjukasta löytyisi se kallis simpukka.

Runossa "Sielumme liekki" on tätä sädehtivää kalleutta vastaamassa "sielumme liekki", kun taas "Runossa rumuudesta" käytetään ilmausta "toivon tuikku".



Katkelmat valikoitu Kaarlo Sarkian koottujen runojen esipuheesta 1944, s. I - XXXIX. Virkkeet on toistettu siinä järjetyksessä missä ne esiintyvät.

Alkulukuparit 3/3

ALKULUKUJEN ARVOITUKSET, OSA 6/9

Tänään pääsemme ensimmäiseen varsinaiseen todistukseen - tai ainakin "osatodistukseen". Esittelen myös algoritmin, joka kertoo meille potentiaalisten alkulukuparien määrän rajattoman suuressa matriisissa.

Algoritmi, jonka esittelen, tulee olemaan eksakti. Toisin sanoen siinä ei ole minkäänlaista virhemarginaalia. Yleensä alkuluvuista ei ole tapana esittää funktiota, jossa ei olisi huomattavaa epätäsmällisyyttä tai vähintään muutamia ennakoimattomia poikkeamia. Esimerkiksi alkulukulause osuu maaliinsa lähinnä vain siitä syystä, että maali on ladon seinän kokoinen. ALL kyllä osoittaa oikeaan suuntaan, mutta sen varassa en lähtisi suorittamaan kirurgista operaatiota.

Oma algoritmini on täsmällinen siitä syystä, että se kertoo VAIN tunnettujen tekijöiden ja alkulukujen suhteen. Toisin sanoen se tiedostaa myös oman virhemarginaalinsa, eli tekijät joita emme ole määrittäneet. Se on määritelmänsä puitteissa erehtymätön, mutta se toimii pitkälti pimeässä, eli tarjoaa vain tietyn osan alkulukuja koskevasta informaatiota.

Joidenkin matemaatikoiden intuitio tulee tämän kirjoituksen jälkeen myöntämään, että kysymys alkulukuparien rajattomasta määrästä on ratkennut. Itse en ajattele niin - enää. Ajattelen, että asia on ratkaistu vasta seuraavienn kolmen kirjoitukseni jälkeen, joissa käyn läpi Goldbachin hypoteesia ja muutamia muita ongelmia - joista osa on peräisin tämänpäiväisestä todistuksesta.


Tekijän kierto

Tarkastellaan edellisen osan pimeää matriisia vielä kerran. Tällä kertaa olen nostanut pimeydestä esiin tekijän 7 reitin läpi origosta origoon.

Klikkaa isommaksi!

Kiinnitä huomiosi kaavion alimmaiseen uuteen riviin, johon olen merkinnyt pitkän rivin ykkösiä. Voimme havaita, että luku 7 esiintyy jokaisessa matriisin 2x3x5=30 sijainnissa tasan yhden kerran. Jos luvut, joissa 7 on tekijänä ilmaistaisiin funktiollta 30n + X, saisimme kaikki X:n arvot 0 - 29. Ne esiintyisivt kerran ja vain kerran.

Kutsun tekijänkierrokseksi ilmiötä, jonka voi todistaa myös loogisesti:

VÄITE
Uusi varteenotettava tekijä vierailee muiden tekijöiden muodostaman matriisin jokaisessa ruudussa kerran, ennen kuin kohtaa ne kaikki uudessa origossa (tässä tapauksessa 2 x 3 x 5 x 7 = 210).

LÄHTÖOLETUKSET:
Luku nolla sisältää kaikki tekijät, joten ne lähtevät samalta viivalta. Uusi tekijä voi kohdata matriisin tunnetut tekijät samassa ruudussa vasta, kun ne kaikki ovat tuon luvun (210) tekijöitä (2x3x5x7). Jos tuo luku jaetaan uudella tekijällä (7), saadaan tulokseksi muiden tekijöiden tulo (30). Tämän määrän askeleita tekijä joutuu kulkemaan saavuttaakseen uuden origon.

TODISTUS:
Jos uusi tekijä matkaltessaan origosta astuisi kaksi kertaa matriisin tiettyyn ruutuun ennen kuin se saavuttaisi origoa, se tarkoittaisi ettei se saavuttaisi origoa koskaan. Sen askelet ovat määrämittaisia ja matriisi on toistuessaan aina saman kokoinen. Käytyään ruudussa X, tekijä astuu ruutuun Y ja sitten ruutuun Z.. Jos se astuu uudestaan ruutuun X vähemmällä kuin 30 askelella, ja käymättä origossa, se astuisi seuraavaksi ruutuun Y, sitten ruutuun Z... ja taas ruutuun X käymättä vieläkään origossa.

Tekijä astuu jokaiseen matriisiin ruutuun 30 askelen välein, joten se astuu niihin jokaiseen tasan yhden kerran kiertäessään matriisia origosta origoon.


Ja mitä me tästä sitten voimme oppia?

Vihdoinkin me tiedämme jotain myös varteenotettavista tekijöistä. Voimme yleistää tämän havainnon kaikkiin uusiin tekijöihin ja muodostaa algoritmeja rajattoman suurista matriiseista. Niiden sisältö ei näyttäydy enää satunnaisena vaan on hyvinkin tarkkaan määritettävissä. Tunnemme muutkin paitsi tunnetut tekijät.

Koska mielenkiintoomme oli alkulukupareissa, lasken seuraavaksi kuinka monta parillista aukkokohtaa matriisit sisältävät. Ja koska matriisit toistuvat äärettömästi samanlaisina, tiedämme mistä etsiä - ja montako paria voimme odottaa löytävämme.


Alkulukuparien määrä matriisissa ja ALP

Tiedämme, että matriisissa 2x3 on yksi alkulukupari: 6n+1 ja 6n-1. Seuraava matriisi on viisi kertaa laajempi, joten tämän muotoisia pareja siitä voisi olettaa löytyvän viisi. Uusi tekijä, luku 5, on kuitenkin matkallaan origosta origoon tärvellyt jokaisen ruudukon tasan kerran.

Tiedämme, ettei mikään tekijä pysty samalla kertaa astumaan saman alkulukuparin molempiin ruutuihin - koska välimatka on vain 2 ruudun mittainen. Niinpä sen tärvelemät ruudut 6n+1 ja 6n-1 kuuluvat kahteen eri alkulkupariin. Tämä on tietenkin yleistettävissä kaikkiin uusin tekijöihin.

Matriisissa 2x6 oli siis 1 pari. Kerromme sen viidellä, mutta vähennämme 2 - ne jotka tekijä 5 turmeli. Niinpä uudessa matriisissa on 3 alkulukuparia. (huom. pareja 3 ja 5 tai 5 ja 7 ei lasketa, koska kyseiset luvut ovat nyt tekijöitä ja koska nuo sijainnit eivät enää ikinä tule tuottamaan alkulukupareja.)

Saimme siis tulokseksi 3. Jos katsomme matriisia Origo30, näemme että laskelma piti kutinsa. Miten sitten laskemme seuraavan matriisin arvon?

Uusi tekijä on 7. Uusi matriisi on myös 7 kertaa aiempaa laajempi, joten jo löytämämme 3 parillista aukkokohtaa toistuvat nyt 7 kertaa. Luku 7 kuitenkin turmelee jälleen tuplasti pareja, koska se astuu yhden kerran jokaisen parin kumpaankin ruutuun. Saamme siis tulokseksi 3 x 7 - 3 - 3. Tämä voidaan siistiä muotoon 3 x (7-2) = 15.

AL-Pari-Algoritmi

(En ole varma voisiko algoritmin merkitä suoraan !(P-2)...? Ilmeisesti huutomerkki ei kuitenkaan rajoita laskutoimituksia samalla tavoin kuin "pii"? Pyydän anteeksi jos merkintäni ovat vireellisiä, sillä en ole opiskellut matikkaa lukion jälkeen, ja siitäkin on yli kymmenen vuotta.)

Jälleen tulos vastaa aiempia havaintoja täydellisesti. Matriisissa 210 on todellakin löydettävissä 15 alkulukuja tuottavaa funktiota. Jos haluaisimme tietää montako näistä funktioista toteutuu meidän tulisi laajentaa algoritmiä tarkoitusta varten muokatulla logaritmi-osalla, jossa laskisimme varteenotettavien tekijöiden likiarvon välillä T(suurin tekijä) - tutkitun alueen neliö.

Itse asiassa lukujen 0 ja 210 välillä on tismalleen 15 alkulukuparia, mutta tämä johtaa harhaan. Kaksi matriisin potentiaalisista alkuluvuista jää toteutumatta lukujen "13 x 13" ja "11 x 19" puututtua tapahtumiin - kun taas parit 3 ja 5 sekä 5 ja 7 olen määritellyt matriisiin kuulumattomiksi. Tällä tavoin todellinen arvo tasautuu vastaamaan ennustettua arvoa hieman kyseenalaisella tavoin - ja vain tässä matriisissa. En siis väitä, että algoritmi "ennustaisi" yhtään mitään. Se opastaa katsomaan ilmiöiden taustoja.


Ääretön määrä alkulukupareja?

Lasketaan vielä seuraavan matriisin alkulukuparit: 15 (aiempi tulos) x (11 - 2) = 135. Tämä on siis pelkkä ennuste välillä 0 - 2310, vaikka se toki kertookin täysin täsmällisesti millä 135:lla eri funktiolla me voisimme metsästää alkulukupareja. Matriisissa Origo2310 on siis täsmälleen 135 potentiaalista alkulukupareja tuottavaa kohtaa tai funktion arvoa, mutta osan niistä turmelevat muut tekijät, kuten 13, 17, 19 jne.

Todellisuudessa välillä 0 - 2310 on 70 (?) alkulukuparia, joten muut tekijät syövät ennusteesta nyt jo melkein puolet.

On kuitenkin syytä optimismiin. Löytämämme algoritmi ALP = AMP x (UMT - 2), eli alkulukuparit saadaan kertomalla aiemman matriisin parit uuden matriisin "tekijällä miinus 2". Koska vähennettävä osa on vakio ja koska uusien tekijöiden koko kasvaa, tulee jokaisessa uudessa matriisissa olemaan aiempaa suurempi määrä potentiaalisia pareja.

1 x (3-2) = 1

1 x (5-2) = 3

3 x (7-2) = 15

15 x (11-2) = 135

135 x (13-2) = 1485

parit x (uusi tekijä - 2)

Luku kasvaa niin huimaavaa vauhtia, että moni matemaatikko puhaltaisi tässä kohtaa pelin jo poikki. Alkulukupareja on loputtomasti ja sillä selvä. Niille tarjotaan rajattomasti tilaisuuksia matriisien toistuvissa monikerroissa, joten jossakin ne jälleen ilmaantuvat, vaikka ilma vilisisi pimeänä muita potentiaalisia tekijöitä, jotka parhaansa mukaan turmelisivat potentiaalisesta alkulukuparista vähintään sen toisen osapuolen.


Loputtoman määrän todistaminen?

Aluksi tämä riitti minulle. En ollut tavoitellut alkulukuparien loputtoman määrän todistamista vaan selittämistä. Siinä on suuri ero (vaikka tietenkin lopulta sanalliset selitykset pitäisi osata kääntää myös matematiikan kielelle.) Mielestäni olen nyt jo selittänyt miksi alkulukupareja ylipäänsä on - ja miksi niitä on niin paljon - ja mistä me voimme niitä etsiä.

Kertauksen vuoksi: Alkulukupareja syntyy, koska:
a) alkuperäisessä pienimmässä matriisissa 2x3 on yksi pari, eikä muuta. Sen pohjalta siis kaikki alkuluvut ovat parillisia, muotoa 6n + 1 ja 6n -1. Tämä parillisuus periytyy myös suurempiin matriiseihin, sillä se toimii niiden lähtökohtana.
b) Kaikki matriisit sisältävät alussa ja lopussa nollakohdan, jossa tekijät kohtaavat. Tämän nollakohdan molemmilla puolin on alkulukupari, tosin se saattaa joskus jäädä toteutumatta villien tekijöiden takia - mutta kaikissa matriiseissa se on potentiaalisesti olemassa (poikkeuksena matriisit, jossa ei ole tekijää 2, sillä silloin nollakohdan kummallakin puolella on tekijänä 2. Esim 3x5: 15 + 1 = 16 ja 15 - 1 = 14.)
c) Matriisit ovat symmetrisiä ja sisältävät itsessään aiempien matriisien alkioita, kuten suuremmat eliöt, jotka koostuvat soluista. Matriisissa O210 on esimerkiksi 7 kappaletta matriisia O30. Uusi tekijä peittää vain murto-osan aukoista, joten valtaosa pienempien matriisien pareista jatkaa elämistään uusissa isäntäeliöissään.

d) Kun kaksi pienempää matriisia yhdistyvät suuremman sisällä, kohtaavat useat tekijät liitoskohdassa kohdassa, koska kyseessä on niiden keskinäisen tanssikuvion nollakohdasta. Tällöin on todennäköistä, että molemmin puolin on alkuluku. Tämä on tietenkin vain edellä jo todetun ilmaisemista toisin sanoin.


Seuraavaksi?

Matriisi Origo2310 sisältää jo 135 erilaista funktiota, joilla kaikilla löytyy alkulukupareja - mutta miksi tyytyä siihen, kun seuraava matriisi tarjoaa jo 1485 erilaista funktiota - joilla löytää ei vain tietyn suuren alkulukuparin vaan kaikki siltä väliltä. Matriiseilla voi haravoida esiin kaikki paikat, joissa hyvällä todennäköisyydellä on alkuluku tai kaksi.

Vielä on kuitenkin osattava liittää yhtälöön myös villit tekijät - ne joista ei ole ollut puhetta - kaikki ne sadat ja tuhannet alkuluvut, jotka kerran näyttäydyttyään muuttuvat tekijöiksi ja alkavat saalistaa alkulukuja kuin mörkö: mihin mörkö kerran astuu, siinä kohtaa ei enää koskaan kasva mitään.

Villejä tekijöitä varten voidaan muotoilla logaritmi-osa, joka antaa meille likiarvon - mutta kuten moneen kertaan olen sanonut, en ole kiinnostunut likiarvoista. Haluan ymmärtää.

Itse asiassa villeistä alkuluvuista ei ole niin paljon vaaraa kuin luulisi. Alkuluvuilla on edessään pitkä tie ennen kuin ne varttuvat tekijöiksi. Tämä on ehkä helpointa selittää, jos ensin tarkastelemme Goldbachin hypoteesia. Seuraavassa kirjoituksessa siis vihdoin aloitetaan pääruoan tarjoileminen.



PS. Tekijänkierto pätee myös laajemmin. Myös villit tekijät astuvat kuhunkin matriisin ruutuun vain yhden kerran matkallaan origosta origoon - siis omaan, kaukaiseen nollakohtaansa. Ensimmäisellä askeleellaan ne ovat alkulukuja, eivätkä enää koskaan ennen origoa astu tuohon ruutuun toista kertaa. Esimerkiksi alkuluku 19 (siis tekijä muotoa 0 x 210 + 19)  on turmelemassa ruutua 210n + 19 seuraavan kerran vasta ruudussa 210 x 19 + 19, silloin ja tasan tarkkaan silloin. Emme löydä tekijää 19 ruuduista "210 x 1 +19" tai "210 x 2 +19"... aina ruutuun "210 x 18 + 19" asti.

Sama pätee ruutuun 210n - 19. Ensimmäinen tapaus on 210 x 19 - 19.

Tekijänkierroksen näkökulmasta katsottuna villien tekijöiden käytös on melko helposti ennustettavissa - tai siis tietenkin se on täydellisesti ennustettavissa, mutta yksinkertaisen säännön muotoileminen on toinen juttu.

Toinen tekijöitä koskeva rajoitus, jonka mainitsin jo ihan ensimmäisessä osassa on se, että kukin tekijä muuttuu tekijäkokelaasta varteenotettavaksi tekijäksi vasta ohitettuaan ruudun, jossa se on toisessa potenssissa. Tästä syystä alueella 0 - N meidän tulee huomioida vain tekijät, jotka ovat pienempiä kuin "neliöjuuri N". Mitä suuremmista luvuista on kyse, sitä pienempi suhteellinen osuus tekijöistä on varteenotettavia.


PPS. Entäs tämä alkulukuongelma:
Aina alkuluku välillä "n potenssiin 2 ja n+1 potenssiin 2"

Alkulukuparit 2/3

ALKULUKUJEN ARVOITUKSET, OSA 5/9.

Tässä osassa tarkastelemme alkulukupareja analyyttisemmin. Edellisesti luvusta tiedämme jo, että alkuluvut pariutuvat, koska tekijät kohtaavat toisensa matriisin nollakohdassa ja koska matriisit ovat symmetrisiä. Pienimmät, tässä vaiheessa jo varsin hyvin tunnetut tekijät asettavat alkuluvuille tarkat rajat, joista ne eivät koskaan myöhemminkään voi poiketa.

Origo6 +1/-1

Tekijöiden 2 ja 3 tanssikuviosta seuraa, että kaikki alkulukuparit ovat ilmaistavissa kaavalla 6n + 1 sekä 6n -1. Itse asiassa myöskin kaikki ei-parilliset alkuluvut ovat jompaa kumpaa muotoa (ainoa poikkeus ovat tietenkin luvut 2 ja 3). Jokainen alkuluku on siis yhden askelen päässä kuudella jaollisesta luvusta.

Meidän ei kuitenkaan kannata tyytyä tähän. Voimme muotoilla alkuluvuille täsmällisemmät arvot tutkimalla matriisia, jossa on enemmän tunnettuja tekijöitä. Mikään ei aseta rajoja tällaiselle tutkimukselle: teoriassa voimme kertoa keskenään kuinka monta tekijää tahansa ja saamme uuden, suuremman matriisin.

Origo30 - Alkulukuparit

Tässä kaavakuvassa luku 1 on merkitty alkuluvuksi (eli asetettu kultaiseen kehykseen) Syy on siin, ettei kyseessä ole todellinen luku 1 vaan luku "30n+1", toisin sanoen matriisin nollakohtaa seuraava luku. Esimerkiksi luvut 31, 61 tai 91 ovat tällaisia lukuja.

Koska luku 5 on tekijänä matriisissa, ei 30n + 5 tai 30n - 5 voi koskaan olla alkuluku. Tässä matriisissa pätee siis sama kuin meille tutummassa kymmenjärjestelmässä.

Luku viisi on vähentänyt alkulukuparien määrää kahdella. Origo30 antaa täsmällisempiä arvoja kuin Origo6, sillä siinä on useampia tunnettuja tekijöitä.

Kuvasta näemme, että alkuluvut ovat muotoa:

30n +1
30n -1

30n + 11
30n + 13

30n + 17
30n + 19

Jos haluamme, voimme hyödyntää symmetriaa ja ilmaista viimeisen parin myös muodossa:

30n - 11
30n -13

Nämä havainnot ovat täydellisesti yleistettävissä, kunhan suljetaan pois alkulukupari 5 sekä 7. Ehkä siis olisi parempi sanoa, että sääntö pätee kaikkiin alkulukupareihin, kunhan n > 0.

Kuviosta näemme myös, että kaikissa neljän tai kuuden alkuluvun ryppäissä on 15:lla jaollinen keskipiste.


Kirje professorille 2010

Tällaisia ilmiöitä olin siis havainnut jo vuoden 2010 alkupuoliskolla. Halusin tietää olenko oikeilla jäljillä - tai olenko mahdollisesti tehnyt jo tässä vaiheessa uusia havaintoja, joten lähetin sähköpostia muutamalle yliopiston tutkijalle ja dosentille, joiden tiesin erikoistuneen lukuteoriaan.

Eräs heistä vastasikin pian ja kertoi, että sähköpostissani esittämäni havainnot ovat tunnettuja ja todistettuja. Se oli tietenkin hyvä asia, sillä tiesin nyt olevani oikeilla jäljillä. Olin maininnut sähköpostissani vain murto-osan ajatuksistani ja olisi ehkä ollut järkevää jatkaa kirjeenvaihtoa heti silloin ja selvittää tarkemmin mitkä osat itsenäisistä tutkimuksistani jo tunnettiin lukuteoriassa. Omien todistusten muotoilu ja metodi, jolla niihin oli päästy kuitenkin vaikuttivat radikaalisti eroavan aiemmasta - ainakin saatavilla olevan kirjallisuuden ja nettisivustojen perusteella.

Käytännössä kaikki 1900-luvun edistysaskelet lukuteoriassa perustuivat logaritmiin ja alkulukulauseeseen:
http://fi.wikipedia.org/wiki/Alkulukulause
Tästä syystä ne ovat epätäsmällisiä, eivätkä palvele arkiymmärrystä. Todistukset on johdettu aiemmista todistuksista ja niiden selittäminen edellyttää monimutkaisten yhtälöiden opettelemista.

Entä mitä Wikipedia meille kertoo "tekijöistä"?
http://fi.wikipedia.org/wiki/Tekij%C3%A4

"Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä."

Niinpä tietenkin. :D


Pimeä matriisi, The Dark Matrix

Kun tekijät tunnetaan, ne voidaan sulkeistaa pois ja unohtaa. Syntyy pimeä matriisi, jossa huomion voi helpommin kiinnittää alkulukuihin tai varteenotettaviin tekijöihin.

En ole piirtänyt tätä täydellisen mustaksi vaan jättänyt matriisin solmukohdat näkyviin, siis 6:lla jaolliset luvut sekä osan viitosen sijaineista.

Ruudokossa ovat siis vasemmalta oikealle ja ylhäältä alas merkittynä kaikki kokonaisluvut nollasta 210:een. (Tai jos täsmällisiä ollaan niin 7 - 209) Kaikki alkuluvut tuolta väliltä löydetään avonaisista ruuduista - ja niitä on paljon. Seuraavaan kuvaan olen merkinnyt alkuluvut punaisella ruksilla ja ei-alkuluvut mustalla.

KLIKKAA ISOMMAKSI!

Matriisin Origo210 aukkokohdat, eli kaikki alkuluvut välillä 0 - 210.

On lyhyempi luetella ne matriisin aukkokohdat, jotka eivät ole alkukuja: 12 /56  vs. 44 /56

49 = 7 x 7
77 = 7 x 11
91 = 7 x 13
119 = 7 x 17
121 = 11 x11
133 = 7 x 19
143 = 11 x 13
161 = 7 x 23
169 = 13 x 13
187 = 11 x 17
203 = 7 x 29
209 = 11 x 19

Origo30-ruudukkoa voi jatkaa niin pitkälle kuin halutaan ja aina alkuluvut löytyvät samoista sarakkaista. Turha siis väittää, että alkulukujen esiintymisessä olisi jotain outoa tai maagista. Nehän seisovat aivan maltillisesti suorissa riveissä kuin armeijan alokkaat paraatipäivänä.


Matriisi 30 x 7, eli Origo210

Jos luvun 7 liikkeet huomioidaan ja lasketaan mukaan seuraavan 210 numeron sarjaan, saadaan matriisi Origo210, johon myös voidaan laskea täsmälliset - aiempaa matriisia hieman tarkemmat - alkulukuparien ilmaantumiskohdat. Kaikkiaan ratkaisuja on 15 kpl, ja tilaa säästyy jos ne ilmaistaan symmetrisesti:

210n + 1  ja  210n -1

210n +/- 11 ja 13

210n +/- 17 ja 19

210n +/- 29 ja 31

210n +/- 41 ja 43

210n +/- 59 ja 61

210n +/- 71 ja 73

210n +/- 101 ja 103

Huomaa, että kohdassa 210n-1 ei ensimmäisellä näkemällä ole alkulukuparia! Kun n saa arvon 1, aukkokohdassa 210n - 1 = 209 seikkailee tekijä 11 (11 x 19). Myöhemmillä kierroksilla sijainti on kuitenkin jälleen vapaa ja alkulukuja putkahtaa esiin. Kyseessä on siis potentiaalinen sijainti alkulukuparille. Joka tapauksessa matriisi 210.ssa on alkulukuparia varten tuossa kohtaa tilaa - hedelmällistä maaperää - ja myöhemmin siitä tulee löytymään alkulukuja - myös pariutuneita sellaisia.

(Esimerkiksi jo seuraava 2 x 210 - 1 / + 1, eli 419 ja 421 ovat alkulukupari.)

Myöskään kohdassa 210n - 41 = 169  (13 x 13) ei ole alkulukuparin toista osapuolta, vaikkakin luotan, että samalla funktiolla 210n - 41 kyllä löytyy alkulukuja ja parejakin myöhemmin. Kaikkiaan tarkastelemassamme matriisissa toteutuu N:n arvolla 0 vain 13/15 mahdollisesta alkulukuparista. Muutaman puuttuminen selittyy varteenotettavilla tekijöillä 11 ja 13. Selitän myöhemmin miksi alkulukupareja toteuttavia funktioita 210n +/- X tulisi olla juuri 15 kpl, eikä vähempää

(Luvut 1427 ja 1429 ovat alkulukupari muotoa 210n -41 ja - 43. N saa arvon 7. Metodini ovat alkeelliset, mutta tässä vaiheessa teoreemani löytää jo alkulukuja jotka ovat käsitettävän avaruuden ulkopuolella - teoreemaan perustuvia, mutta toteutuvia.)

Luvun 210 jälkeen alkulukupareja löytyy vain ja ainoastaan yllä mainituilla koordinaateilla - äärettömyyteen asti. Jos haluamme jatkaa, voimme rakentaa seuraavan matriisin 210 x 11 = 2310 - ja sitä seuraavan 2310 x 13 - ja sitä seuraavan ja sitä seuraavan. Matriisissa Origo2310 tulisimme löytämään 135 alkulukuparia muotoa 2310n +X. Luku tulee aina olemaan pariton, koska jokainen matriisi on sisäisesti symmetrinen, minkä lisäksi on pariton alkulukupari muotoa + 1 / -1. Matriisin puolivälissä ei koskaan voi olla alkulukua tai alkulukuparia. Selitän seuraavassa osassa miten luku 135 on laskettu - ja kuinka voin olla varma siitä, että se pätee tarkasti.

Esittelemilläni metodeilla emme löydä ainoastaan tiettyjä suuria alkulukupareja vaan kaikki potentiaaliset alkulukuparien kohdat nollasta aina haluamaamme lukuun saakka... mutta vain potentiaaliset sijainnit. Jos haluamme eksakteja lukuja, tarvitsemme lisää välineitä.


Varteenotettavat tekijät

Luvusta 7 on tulossa seuraava tunnettu tekijä. Mitä me voimme tietää siitä, ilman että mekaanisesti käymme lävitse matriisin jokaisen ruudun?

Tässä vaiheessa on syytä huomata, että kulkiessaan matriisin nollakohdasta "0" uuteen nollakohtaan "210" numero 7 täyttää matkallaan aukkokohtia täsmälleen niin paljon kuin matriisissa alkujaan on: 8 kpl.

Huom. Katso ylempää lista luvuista jotka eivät ole alkulukuja! Löydät vain 7 tapausta, mutta lisäksi luku 7 pilkistää matriisin rakosesta myös kohdassa 0x30 + 7. Ensi esiintymisellään luku on alkuluku, mutta tämä lasketaan kahdeksanneksi tapaukseksi, koska myöhemmin kyseinen tekijä löytyy aina tuosta ruudusta, eikä se enää ole viaton alkuluku. Mikään luku 210n + 7 ei voi olla alkulukua, jos n on suurempi tai yhtä suuri kuin 1, koska sen tekijänä on luku 7. Esimerkiksi 217 ei ole alkuluku, eikä liiemmin 427. Ne sijaitsevat 7 askelen päässä nollakohdasta, jossa on tunnettuna tekijänä luku 7.
 
Seuraavassa luvussa todistan, että nämä havainnot on yleistettävissä miten suuriin matriiseihin tahansa.

Matkallaan kohti Origoa210 luku 7 kulkee seitsemän kertaa edellisen matriisin halki. (Tietenkin, koska 210:30 = 7.)  Se täyttää tarkalleen 1/7 kaikista mahdollisista aukkokohdista. Koska matriisissa Origo30 on 8 aukkoa, ja matriiseja on seitsemän kappaletta, jää jäljelle täsmälleen 6/7. Jos muissa kohdissa ei ole alkulukua tai luku 7 ei vieraile niissä, täytyy asialla olla tekijä 11, 13, 17, 19 jne.

Jatkuu...


PS. Ruudun 210n+7 tekijänä ei seitsemän lisäksi voi koskaan olla 2, 3 tai 5. Sama pätee kaikkiin matriisin Origo210 aukkokohtiin, joissa 7 on havaittu. Niinpä näissä on 7:n ohella jokin muu alkuluku tai kyseessä on seitsemän korkeampi potenssi.