Goldbach The Game 2/2

Katsotaan käytännössä mitä aiemmassa esimerkkitapauksessa n=24 lopulta tapahtuu.

Luku 3 hyökkää.

Tekijä 3 ohittaa muut vastapuolen sotilaat, mutta lyö laudalta valkoisen nro 3. Tämä on ennakoitavissa, koska luku n=24 on 3:lla jaollinen. Niinpä kolmonen ei voi olla sen ratkaisu. Jos kolmella jaolliseen lukuun lisätään 3 tai siitä vähennetään 3, uusi luku on myöskin kolmella jaollinen. Niinpä se ei voi olla alkuluku.

SÄÄNTÖ 1: Mikään tekijä, joka jo kuluu osaksi tutkittavaa parillista lukua n, ei voi olla Goldbachin hypoteesin ratkaisu P - paitsi, jos luku n on muotoa 2P, jolloin sen ratkaisu on P + P.

Koska valkoinen kolmonen ja musta kolmonen kohtaavat, ei musta kolmonen voi missään tapauksessa lyödä laudalta mitään toista nappulaa. Tiedämme tämän varmuudella, sillä...

SÄÄNTÖ 2: Jos luku X on tekijänä luvussa n, niiden yhteinen matriisi on symmetrinen. Silloin kummastakin päästä katsottuna sama tekijä X astuu samoihin ruutuhin. Valkoinen 3 kulkee mustan 3:n jalanjälkiä ja toisin päin. Me tiedämme, ettei mikään alkuluku ole kolmella jaollinen (paitsi 3). Tämä pätee myös katsottuna toisesta origosta, jos kyseessä on sellainen matriisi, jonka tekijä on 3.

luvun 3 symmetria.

Mustan puolella pelilautaa mikään alkuluku ei ole 3:lla jaollinen, joten myöskään valkoisen puolella mikään alkuluku ei ole kolmella jaollinen - toisin sanoen, musta 3 ei voi koskea niihin.

SÄÄNTÖ 3: Mitä useampia tekijöitä luvulla n on, sitä enemmän pelikentällä vallitsee symmetria - ja sitä enemmän ratkaisuja on Goldbahin hypoteesilla tuon kyseisen luvun kohdalla. Todistan tämän myöhemmin.


Varteenotettavat tekijät ja nynnyt tekijäkokelaat

Luku n=24 ei ole viidellä jaollinen, joten katsotaan mitä tapahtuu seuraavaksi.

luku 5 hyökkää

Luku 24 ei ole 5:llä jaollinen, joten ohitettuaan puolivälin, luku 5 ei enää astu samoihin ruutuihin kuin omalla puolellaan pelikenttää (etäisyys puolivälistä muuttuu, toisin kuin luvulla 3!) Niinpä sillä on hyvät mahdollisuudet torpata mikä tahansa vastapuolen luku - tai useampikin.

Valitettavasti tällä kertaa 5 on suutari.

Enempää lukuja meidän ei tarvitse enää edes tutkia. Tiedän jo lopputuloksen. Ja mistäkö sen tiedän? - Koska tekjät ovat vaarattomia, jos ne ovat suurempia kuin neliöjuuri n. Tässä tapauksessa siis kaikki viitosta suuremmat - ja myös niukasti luku 5 itse - ovat täysin harmittomia. Ne eivät voi lyödä ainuttakaan vastapelaajaa.

SÄÄNTÖ 4: Mustan hyökkäyskalustoon kuuluvat ainoastaan luvut, jotka ovat pienempiä kuin neliöjuuri n. Kaikki sitä suuremmat luvut eivät ole vielä kypsyneet varteenotettaviksi tekijöiksi.

TODISTUS: Katsotaan ensin mitä alkuluvuille 7 ja 11 tapahtuu, kun ne astuvat vihollisen maaperälle.

7 ja 11

Luku 11 astuu ruutuun 2 x 11 = 22. Luku 7 astuu ruutuun 2 x 7 = 14. Tämä on täysin hyödytön liike molemmilta, koska tiedämme, että luku n on jaollinen kahdella. Kaikki Goldbachin Pelin areenat ovat jaollisia kahdella, se on hypoteesin lähtökohta. Näin ollen parilliset luvut ovat mustalle ja valkealle symmetrisiä.

Symmetria-säännöstä tiedämme, että symmetriset ruudut eivät voi olla alkulukuja. Parillinen ruutu mustan origosta katsottuna on parillinen luku myös valkoisen origosta katsottuna. Suuret alkuluvut astuvat vihollisen maaperällä ensin parilliseen ruutuun - ja sitten hyppäävät kokonaan pois laudalta. Niistä ei ole mitään vaaraa, koskaan!

Luku seitsemän astuu seuraavaksi ruutuun 3 x 7 - tietenkin, koska se on kolmas seitsemällä jaollinen luku. Me tiedämme jo valmiiksi, että luku 3 on lyönyt laudalta oman vastinparinsa, joten kolmella jaolliseen ruutuun astuminen ei hyödytä mustaa millään tavoin.

Seuraava ruutu, johon musta 7 astuisi, olisi 4 x 7 - jälleen parillinen luku, täysin dyödytöntä.

Sitten 5 x 7 - mitä apua tästä on, koska luku 5 olisi jo käynyt paikalla tyhjentämässä ruudukon.

Taas parillinen 6 x 7 - aivan hyödytöntä. Koko 7 on aivan tarpeeton ennen kuin se saavuttaa ruutua 7 x7 - ja sen saavutettuaan on mahdollista, ettei kyseisessä ruudussa edes ole vastustajan alkuluku-nappulaa.

Luvun 11 tie olisi vielä vaivalloisempi. Sen astuessa ruutuun 7 x 11 olisi luku 7 jo käynyt paikalla, eikä seuraava askel 8 x 11 olisi yhtään sen parempi: parillinen. Sitten 9 x 11 - kolmella jaollinen, kolmonen on käynyt jo täällä. Sitten parillinen. Vasta luku 11 x 11 hyödyttäisi mitään - mutta siinä ei välttämättä ole vastustajaa.

Sääntö 4 pätee siksi, että kaikki uudet, suuret alkuluku-kokelaat etenevät ruudukossa samaan tapaan. Ensin ne tutustuvat kaikkiin aiempiin tekijä-kavereihinsa: 3, 5, 7 jne. sekä koluavat läpi myös kaikki parilliset ruudut. Vasta kohdattuaan itsensä - ruudussa P potenssiin 2 - alkuluku on valmis sotaan. Se tuntee aiempien tekijöiden matriisin, ja osaa nyt omin voimin haastaa vastapuolen alkulukuja.

LOPPUTULOS: Näemme nyt Goldbachin hypoteesin ratkaisut luvulle n. Katsotaanpa tarkkaan pelilautaa:

Ratkaisut luvulle n=24.

Ratkaisuja on kolme:

11 + 13
7 + 17
5 + 19


Ylivoimainen vastustaja

Pelin säännöt ovat meille nyt tuttuja. Mietitään uudestaan, kannattaako meidän lyödä vetoa mustan puolesta? Voivatko tekijät neliöjuuri n koskaan yhteistuumin lyödä laudalta kaikkia alkulukuja välillä 1/2n - n? Valkoisella on käytössään koko alkuluku-arsenaali, ja jokainen laudalle jäänyt nappula on ratkaisu hypoteesiin. Riittää, että ratkaisuja on yksi.

Neliojuuri on armoton karsintaväline. Aluksi näyttäisi, että osapuolet ovat tasavertaisia ja kyse on vain sattumasta. Mutta mitä suurempi on pelikenttä, sitä pienempi murto-osa on siihen suhteutettuna sen neliöjuuri. Katsotaan vaikka millaisia pelivälineitä on laudalla, kun n=100. Sen neliöjuuri on tällöin 10 - ja mustalla on käytössään vain tuota pienemmät tekijät.

Kaksi vastaan "aika monta"

Hups! Kaiken lisäksi luku 100 on jaollinen viidellä, joten sääntöjen mukaan tekijä 5 ei voi itsensä lisäksi syrjäyttää muita vastapuolen alkulukuja. Gulp!

Game Over man! Game F**king Over! Kyse ei ole enää sattumasta. Kyse ei ole enää pienestä, pienestä mahdollisuudesta. Kyse on teurastuksesta. Monen matemaatikon intuitio viheltää tässä kohtaa pelin poikki. Goldbachin hypoteesi on ratkaistu.

Tilanne ei myöskään tule paranemaan. Neliöjuuri antaa nyt epäreilun 1/10 tasoituksen valkoiselle, mutta kun n nousee miljoonaan, tulee tuo tasoitus olemaan luokkaa 1/1000. Lisäksi alkulukulause todistaa, että vaikka uusien alkulukujen esiintymistahti onkin laskeva, se ei noudata läheskään näin jyrkkää käyrää. Valkoisella tulee aina olemaan miesylivoima, ja hypoteesin ratkaisujen määrä vain kasvaa entisestään.

Tämä ei kuitenkaan vielä riitä minulle. Ymmärrämme tilanteen toivottomuuden, mutta haluan pitää huolen siitä, ettei mitään mahdollisuutta ole jätetty huomioimatta.

Haluan myös esittää Goldbachin hypoteesille tarkat analyytiset ratkaisut kullakin luvulla n. Sekin onnistuu, eikä haaste ole edes vaikea, nyt kun matriisien symmetrinen rakenne on esitelty, ja tiedämme melkoisen paljon varteenotettavien tekijöiden käytöksestä...

 
PS.
Tekijöistä luku 3 on erityistapaus - eräänlainen shakkipelin kuningatar. Tiedämme, että jokainen alkuluku on muotoa 6n-1 tai 6n+1.

Koska kolmosella on kolme mahdollista kulkureittiä, se voi säännöllisesti osua ruutuihin 6n+0, 6n-1 tai 6n+1. Jos se osuu aina ruutuun 6n+0, tutkittava alue on tietenkin kuudella jaollinen - ja samalla myös kolmella jaollinen. Jos Goldbachin ratkaisuja etsittäessä pelikenttä on kolmella jaollinen, pudottaa luku 3 pelistä pois vain itsensä, ei muuta.



Jos kolmonen osuu säännöllisesti ruutuihin 6n+1 tai 6n-1, se tarkoittaa, että se matkallaan mustan origosta valkoisen origoon pyyhkii tieltään KAIKKI alkuluvut, jotka ovat muotoa 6n +1 tai 6n -1. Toisin sanoen, se parhaimmillaan poistaa laudalta PUOLET vastustajan pelaajista.

Tästä seuraa, että jos Goldbachin konjenktuuriin koskaan löytyy poikkeus, kyseinen luku ei voi olla 6:lla jaollinen. Peli ei mitenkään voisi ratketa mustan eduksi, ellei sillä olisi tätä jokeria hihassaan.


PPS.
Lisäksi haluan esitellä vielä kolmannen alkuluku-ongelman: onko välillä "n toiseen" ja "n+1 toiseen" aina alkuluku? Siitä seuraavaksi.