Goldbach The Game 1/2

GOLDBACHIN HYPOTEESI, OSA 7 /9

Goldbachin konjenktuuri väittää, että kaikki parilliset kokonaisluvut voidaan ilmaista kahden alkuluvun summana. Kuinka lähestyä tällaista ongelmaa?

Kuvitellaan peli, joka perustuisi Goldbachin väittämään. Siinä olisi pelikenttä, joka koostuisi luonnollisista luvuista sekä kaksi osapuolta, musta ja valkoinen. Jos hypoteesi vahvistetaan, valkoinen voittaa - mutta jos se murtuu, voittaja on musta.

Tietyt pelit voidaan lopullisesti ratkaista. Jos osapuolet tuntevat täydellisesti nämä ratkaisut, kadottaa pelaaminen mielekkyytensä. Kuvitellaan vaikka kaksi tietokonetta, jotka on opetettu pelaamaan yhdeksän ruudun tic-tac-toe peliä, eli suomeksi ristinollaa. Kaikki ratkaisut on laskettavissa helpolla algoritmilla, joten käytännössä tietokoneet päätyisivät ikuisesti ratkeamattomaan tasapeliin.

Onko Goldbach the Game mielekäs peli? Pystyykö siitä esittämään mallin, joka sisältää kaikki ratkaisut? Voiko musta missään olosuhteissa voittaa?

Tämä kirjoitus ei esittele vielä lopullista ratkaisua, ainoastaan tavan hamottaa ongelma. En ole luonut peliin omia sääntöjä vaan ne kaikki ovat johdettavissa itse hypoteesista.

Kun mahdottoman tuntuista ongelmaa koettaa hahmottaa erilaisista näkökulmista, meidän intuitiomme tekee työtä. Saamme lopulta vahvan tuntuman siitä, kannattaako meidän veikata mustaa joukkuetta vaiko valkoista.


Pelikenttä

Konjektuurin omaan määritelmään sisältyy, että luku on kaikissa tapauksissa parillinen (huom. Goldbachin hypoteesi voidaan muotoilla kattamaan myös parittomat luvut, mutta silloin täytyy summata kolme alkulukua.) Parillisista luvuista me tiedämme, että ne voidaan jakaa kahteen yhtä suureen osaan. Niinpä teemme sen saman tien ja näin muodostuu pelikenttä: jana 0 --> N, jossa puolivälin n/2 on myöskin kokonaisluku.

Pelikenttä 0 --> N

Valkoinen asettaa omat pelinappulansa omalle puolelleen lautaa (kultainen väri) ja musta tekee samoin (punainen). Pelinappuloina toimivat alkuluvut. Esimerkkitapauksessa N=24. Toisessa päässä on nolla, kuten aina.


Kaksoissymmetria

Aiemmista esityksistäni tiedämme, että kun kahdella saman mittaisella lukujanalla on yhteinen origo ja samat tekijät, ne ovat sisäisesti symmetrisiä. Ne ovat käytännössä sama matriisi, jossa vain origoa on siirretty. Tämän voi ilmaista myös toisin: Parillisella luvulla N sekä luvulla N / 2 (n jaettuna kahdella) on identtiset tekijät - sikäli kun luku 2 jätetään huomioimatta. (Luku 2 ei ole pelissä oleellinen, koska se ei voi toteuttaa Goldbachin hypoteesia minkään muun alkuluvun kanssa. 2+2 = 4 on eräänlainen ratkaisu, mutta kaikki muut alkuluvut ovat parittomia, joten summa A + 2 ei voisi olla parillinen).

Tässä tapauksessa N = 24, joten sen tekijät ovat 2 sekä 3. Myös puolivälin luvulla 12 on tekijät 2 sekä 3. Jos jokin luku on tekijänä luvussa N, se on tekijänä myös luvussa N/2 - ja toisin päin.

Kaikki parilliset luvut sisältävät tämän omia tekijöitään koskevan minimisymmetrian, mutta lisäksi hypoteesin ratkaisevat alkuluvut muodostavat oman symmetrisen rakenteensa: Jos vaikkapa luku 12 on esitettävissä ratkaisulla 5 + 7, siihen pätee myös 7 + 5.

Ratkaisujen symmetria: 5 + 7 = 7 + 5

Kun etsimme tietylle parilliselle luvulle N ratkaisuja, voimme kääntää lukujanan peilkuvaksi. Ei ole väliä onko origo oikealla vai vasemmalla. Kun pelin kaksi osapuolta asettavat nappulansa laudalle, he kumpikin ajattelevat seisovansa pelilaudan nollakohdassa.

Jos ratkaisu löytyy yhdestä suunnasta, se löytyy myös toisesta suunnasta.

Pelilaudalle ei tästä syystä ole tarvetta asettaa lukua N/2 suurempia alkulukuja. Symmetriasta tiedämme, että jos hypoteesin ratkaisun toinen osapuoli tunnetaan, se riittää. Etsimme rakaisun osapuolta, joka on pienempi kuin puoli-N.

(Hypoteesia ei tietenkään olisi mahdollista ratkaista kahdella luvulla, jotka molemmat olisivat suurempia kuin puoli-N - tai jotka molemmat olisivat sitä piemempiä. On kyllä mahdollista, että ratkaisu on puoli-N, esimerkiksi, jos N = 14, sen ratkaisu on 7 + 7.)



Pelin eteneminen

Vielä emme ole määritelleet pelille sääntöjä. Tiedämme vain, että valkoisen pyrkimyksenä on todistaa hypoteesi ja mustan tarkoituksena kumota se. Pelinappuloita on kummallakin yhtä paljon ja myös pelialue on jaettu tasan. Mikä kumma sitten tekee pelistä niin epäreilun mustaa kohtaan?

Kun peli alkaa, laudalle asetetut mustan nappulat eivät enää ole alkulukuja. Ne ovat sotureita, joiden tarkoitus on lyödä vastustajan kaikki nappulat laudalta.

Kun mustan alkuluvut lähtevät liikkeelle ja astuvat vihollisen maaperälle, niistä tulee tekijöitä. Jos ne osuvat vastustajan alkulukunappulan lähtöruutuun, ne samalla mitätöivät sen. Tuo kyseinen alkuluku ei voi enää osallistua hypoteesin ratkaisuun.

Musta 7 saa osuman valkoisen 3:een ruudussa 21!!!

Kun mustan nappula X on ottanut Y määrän askelia, se on arvoltaan X kertaa Z. Se ei voi olla enää alkuluku, sillä se on jaollinen luvuilla X ja Y - tässä tapauksessa X = 7 ja Y = 3. Valkoisen alkuluku 3 on saanut kuolettavan osuman, eikä enää nouse.

Kun hyökkääjä on saapuut kohtaan A, jossa vastustajan alkuluku seisoo, se sijaitsee oman koordinaatistonsa kohdassa N miinus A. Jotta Goldbahin hypoteesi luvulla N toteutuisi arvolla A, täytyisi myös luvun N miinus A olla alkuluku. Sitä se ei ole, koska mustan omasta suunnasta katsottuna tämä luku on jaollinen. Siinä sijaitsee nyt tekijä, ei alkuluku.

Tämä on yksi niistä lukuisista tavoista, joilla alkuluku voi kokea metamorfoosin ja kehittyä Tekijäksi. Mustan näkökulmasta jokainen tällainen soturi on kun shakki-pelin mitätön alokas, joka on ontunut yksi askel kerrallaan ja selvinnyt vihollisten alueiden lävitse viimeiselle rajalle asti ja kohonnut kuningattareksi!

Jos jokainen mustan nappula vain kykenisi samaan ja löisi edes yhden vastustajansa, ei luvulla N olisi ratkaisua. Mutta miksi ihmeessä musta ei näytä kertaakaan onnistuvan haasteessa? Miksi Goldbachin hypoteesi on niin sinnikäs?

Ratkaisujen määrä (Wikipedia)

Kuvassa siis kaikkien toteutuneiden alkuluku-summien määrä kunkin parillisen kokonaisluvun kohdalla. Toteuttavien ratkaisujen määrä kasvaa nopeasti tuhansiin, eikä notkahduksia ole. Myöhemmin selitän miksi ratkaisut hajautuvat kuin valo prismassa. Ilmiö on helppo selittää.


PS. Seuraavassa Pelin Strategiaa esittelevässä osassa opimme miksi tekijäkokelaat, eli vasta liikkeelle lähteneet alkuluvut ovat niin onnettomia pelinappuloita, ettei mustalla ole mitään toivoa. Näemme kuinka Goldbachin ratkaisu itse asiassa selittyy tekijäkokelaiden tumpelomaisella tehottomuudella, ei suinkaan alkulukujen maagisella voimalla. Liity siis jälleen huomenna seuraamme ihmeellisessä jatkokertomuksessa, jossa luvut ottavat mittaa toisistaan!