Legendre & tekijöiden optimaalinen tehokkuus

ALKULUKUJEN ARVOITUKSET, OSA 9/10

Mitä me tiedämme varteenotettavien tekijöiden kyvyistä? Tähän on saatava selkeys, ennen kuin voin esittää lopullisen ratkaisun alkulukuparien rajattoman määrän ongelman tai Goldbachin hypoteesiin. Viimeisen kahden vuoden aikana olen keksinyt kumpaankin todistukseen varmaan kymmenen muttaa ja ehkää, mutta kaikki epäilykset ovat aina osoittautuneet turhiksi.

Onko esimerkiksi mahdollista, että riittävä määrä tekijöitä kykenisi aina peittämään potentiaalisen alkulukuparin toisen osapuolen? Entä jos Goldbach-pelin musta osapuoli onnistuisi jotenkin tehostamaan omien tekijöidensä kuolettavuutta ja päihittäisi ylivertaisen vihollisen? Ovatko tällaiset yllätykset edes teoriassa mahdollisia?


Kolmas ratkaisematon alkulukuongelma: "n ja n+1"

Legendren konjenktuuri esittää, että väliltä "n potenssiin 2" ja "n +1 potenssiin 2" löytyy aina vähintään yksi alkuluku.

Pelkästään alkulukuja tuijottamalla ratkaisut eivät juurikaan etene (eivät ole edenneet, eivätkä tule etenemään), mutta kun katse kohdistetaan tekijöihin, Legendren konjenktuurista tulee läpihuutojuttu.

Kysymys käännetään nyt siis toisin päin: pystyisivätkö käytössä olevat tekijät edes teoreettisesti peittämään koko pinta-alan välillä "n toiseen" ja "n+1 toiseen"?
(Anteeksi etten vieläkään ole keksinyt ratkaisua, jolla potenssit ja muutamat muut merkit, kuten nuolet, saisi bloggerissa toimimaan. Olen pari kertaa yrittänyt leikata tekstin wordistä, mutta siitä on tullut sotkua.)

Kun sanon "teoreettisesti", tarkoitan, että emme tule tutkimaan konkreettisia esimerkkiejä kuten yllä, vaan pahimpia mahdollisia tilanteita. Haluan testata kaikki tekijöiden yhdistelmät ja nähdä mihin ne pystyvät. Koe täytyy tietenkin suorittaa riippumatta mittasuhteista, tietämättä luvun n arvoa.

Sitä varten meidän on eroteltava universaalisti päteviä lakeja - ja hyödynnettävä useita aiemmissa teksteissäni esiteltyjä tekijöitä koskevia sääntöjä.


Osa 1: pelikentän laajuus

Onneksemme tutkittava väli säilyy vakiona. Lasketaan:

(n +1) x (n + 1) - (n potenssiin 2)

= (n potenssiin 2) + 2n + 1 - (n potenssiin 2)

= 2n + 1

Edellisestä osasta opimme, että varteenotettavia tekijöitä on tietyllä välillä aina käytössä määrä "neliöjuuri n", tai siis kaikki ne alkuluvut, jotka ovat pienempiä kuin neliöjuuri "n+1 potenssiin 2", voivat peittää omatoimisesti ruutuja tällä kyseisellä alueella, jonka päätepiste on "n+1 potenssiin 2".

Nyt Legendren konjenktuuri on siis muunnettu seuraavanlaiseen muotoon:

Käytössämme on alkuluvut välillä 0 - n+1.

Voiko niitä apuna käyttäen peittää alan, joka on 2n+1?

Mikä on tekijöiden maksimaalinen peittävyys? Kuinka sen voi selvittää? Sanoin alussa, etten halua hyödyntää todellisia tapauksia, mutta ehkä meidän on aluksi hyvä katsoa jos voimme oppia jotain niksejä rouva Empirialta.


Osa 2: tekijöiden peittävyys

Aiemmissa osissani esittelemäni matriisit perustuvat siihen, että tekijät toistavat samoja tanssikuvioita, eivätkä voi oppia uusia temppuja. Tämän voi sanoa myös toisella tavoin: tekijät käyvät tietyssä järjestyksessä läpi kaikki mahdolliset keskinäiset asemat. Matriisi siis näyttää meille kaikki mahdolliset tavat, joilla kyseiset tekijät voivat sijaita vierekkäin. Pisin aukoton jakso matriisissa on myös teoreettisesti pisin mahdollinen aukoton jakso, jonka tunnetut tekijät voivat rakentaa.

Pisin yhtenäinen jakso tekijämatriisissa 30.

(Ja Legendren konjenktuuri on sikäli helppo haaste, että KAIKKI tekijät voidaan tuntea esittelemilläni välineillä. Villejä tekijöitä ei tarvitse huomioida, sillä niitä ei ole. Miksikö? Selitän kohta.)

Toistaiseksi tekijöiden mieskunto ei näytä kovin kummoiselta. Tekijät 2, 3 ja 5 kykenevät hädin tuskin peittämään puolet siitä, mikä on suurimmat tekijän pituus. Väkisinkin syntyy aukkokohtia niiden kohtien viereen, jossa tekijät astuvat toistensa päälle. Muuttuisiko tilanne mitenkään, jos tekijöiden määrää lisättäisiin? Menisikö se huonompaan vai parempaan suuntaan - vai pysyisi samana.

Oletukseni on, että tilanne pysyy samana, mutta tässä vaiheessa en vielä voi varmistaa tuota oletusta. Se perustuu siihen havaintoon, jonka voimme tehdä katsoessamme luontaista origoa, eli aritmeettista nollaa - mutta tällä kertaa kumpaankin suuntaan.

 Tekijöiden peittävyys nollapisteessä.

Mikä hyvänsä tekijöiden määrä onkaan, ne peittävät nollasta hajautuessaan kaikki ruudun kahdesta aina n:ään asti - kumpaankin suuntaan - mistä syntyy tarpeisiimme täydellinen ala 2n. Uusia alkulukuja ei voi olla, koska alkuluvut ovat ne mitä ovat - onhan kyseessä nyt luonnollinen nolla, ei matriisin "siirretty origo". Nollaan titenkin sisältyvät tekijöinä kaikki luvut.
(Huom. Siirretyssä origossa mikään näistä luvuista P1 - Px ei olisi alkuluku, toisin kuin nollassa, josta katsottuna ne kaikki ovat alkulukuja.)


Tämä helposti tarjoutuva esimerkkijakauma paljastaa kuitenkin heti yhden rajoituksen: tekijät eivät edelleenkään pysty täyttämään kohtia origo + 1 sekä origo - 1. Jos Legendren alue noudattaisi samaa jakaumaa, siinä säilyisi sama tilanne - paitsi että nyt luvun 1 kohdalla olisi uusi alkuluku, eikä tietenkään uudestaan lukua 1.


Osa 2B: tekijöiden parempi peittävyys

Olen käynyt läpi lukuisia testejä, mutta en ole kyennyt parantamaan nollasta lähtevää tekijöiden luonnollista jakaumaa. Jos jonkin tekijän sijaintia muuttaa siten, että se täyttäisi aukon origo +1 tai origo - 1, se jättää jälkeensä 2 uutta aukkoa - niihin kohtiin, joissa se alkujaan oli alkulukuna - eikä tietenkään mikään muu tekijä paitsi 2 pystyisi peittämään kerrallaan 2 ruutua, joiden välimatka on 2 - mutta jos lukua 2 siirtää, se jättää jälkeensä vielä enemmän aukkoja.

Olen nykyään vakuuttunut, että luonnollinen jakauma on paras mahdollinen koko alueen peittävyyttä ajateltuna - tai vähintäänkin jakaa parhaan tulokset jonkin toisen jakauman kanssa. Tämä johtuu siitä, että

a) kun nollakohta on kaikkien tekijöiden yhteinen nollakohta, syntyvät aukot vain tämän yhden kohdan ympärille. Jos tekijöiden nollakohtia on useampia, on vaarana että myös vierustavia aukkoja syntyy useampia.

b) kun suuremmat tekijät lähtevät pisteestä, jossa on tekijänä 2 ja 3, ne voivat heti kummassakin suunnassa peittää aukon, ennen kuin astuvat ulos alueelta. Jos päin vastoin suuri tekijä sijoitetaan haluttuun aukkokohtaan keskemmällä aluetta, se astuu kummassakin suunnassa seuraavaksi parilliseen ruutuun, eikä siitä ole hyötyä. Lisäksi se astuu jommassa kummassa suunnassa myöskin kolmella jaolliseen lukuun.

Aukkokohtien väliset etäisyydet matriisissa.

Matriisin aukkokohtien väliset etäisyydet ovat aina 4 tai 6 (tai 4+6=10 tai 4 + 4 = 8 tai 6+6=12). Koska mikään muu alkuluku paitsi 2, 3 tai 5 ei kykene ottamaan suoraan tämän mittaisia askelia, eivät isommat tekijät ovat kovinkaan suureksi avuksi. Kun ne täyttävät yhden aukon, niiltä kestää aikaa ennen kuin ne taas löytävät ruudun, jossa niistä on mitään hyötyä.

Merkittävin poikkeus on matriisin nollakohta. Siitä katsottuna ne täyttävät suoraan kumpaankin suuntaan aukon - koska ruutu, johon ne astuvat, ei voi olla jaollinen nollakohdan muilla tekijöillä.

Näin ollen, kun luonnollisessa jakaumassa kaikki käytössä olevat tekijät kohtaavat samassa ruudussa, ne kaikki astuvat seuraavaksi ruutuun - kummassakin suunnassa - jossa ei ole muita tekijöitä. Alueelle 2n ovat tällöin tekijät 2 - n maksimaalisesti hyödynnetyinä.

Ja koska luonnollisessa jakaumassa syntyy uudet alkulukut kohtiin +1 ja -1, ei loogisesti ole mahdollista, että tekijät 2 - n voisivat täyttää alan 2n +1. Vaikka meillä olisi käytössä yksi lisätekijä, se voisi täyttää vain toisen ruudun kerrallaan - ja jos liikutamme jotakin muuta tekijää, syntyy 2 aukkoa tuon yhden peitetyn tilalle.


Osa 3: täsmällisempi lähestymistapa

On myös toinen keino todistaa, että alueen pinta-ala on vakio: 2n +1. Tätä todistusta seuraamalla me pystymme määrittämään tekijöiden sijainnit huomattavasti tarkemmin.

Tiedämme siis, että alueen alkupiste on "n x n", ja sen loppupiste "(n +1) x (n+1)". Näin ollen pisteen n x (x+1) täytyy sijaita tuon alueen sisällä.

Etäisyys pisteestä "n x n" pisteeseen n x (+1) on aina sama: "n". Samoin etäisyys pisteestä n x (n+1) pisteeseen (n+1) x (n+1): n +1.

Näin ollen koko alueen alan täytyy olla n + n + 1, eli 2n + 1

Piirtämäni kuvio osoittautuu kuitenkin arvaamattoman arvokkaaksi. Meidän ei tarvitse tietää luvun n arvoa, jotta saisimme selville liudan uusia asioita.

Legendre Sudoku

Jos siirrymme ruudusta n x (n+1) yhden "n+1" pituisen askelen taaksepäin, löydämme ruudun, jossa tekijänä on "n-1"

Voimme jatkaa tällaista hidasta analyysi ja lopulta voimme ratkaista alueen tekijät kuin kyseessä olisi sudoku. Vierekkäisten "kompleksisten tekijöiden" ratkaiseminen on äärimmäisen hyödyllistä, sillä luvuilla, jotka sijaitsevat toistensa naapureina, ei voi olla samoja alkutekijöitä.

Puhun nyt kompleksista tekijöistä, koska luku n saattaa olla vaikka kuinka monen tekijän tulo - varsinkin kun kyse on ongelman ratkaisemisesta äärettömän laajalla janalla.

Tiedämme lähtökohtaisesti, että luvuilla n ja n+1 ei voi olla ainuttakaan yhteist tekijää. Tiedämme myös, että koska ne ovat vierekkäisiä lukuja, niistä toinen sisältää tekijän 2. Näin ollen voimme olla varmoja siitä, että niiden yhteisessä tulossa, eli pisteessä "n x (n+1)" sijaitsee tekijä 2. Emme tietenkään tiedä kumman mukana se on tullut, ja vuoron perään se kuuluu kumpaankin alkeistekijänä.


Matriisin kautta voittoon

Piste n kertaa n+1 son siis parillinen. Luvun 2 lisäksi siinä on vähintään yksi toinen tekijä (vaikka todennäköisesti useampiakin). Koska kyseinen ruutu ei ole yhden tekijän monikerta, se on toisin sanoen jonkin tietyn matriisin nollakohta.

Legendren matriisi

Kaikki matriisit peittävät nollakohdasta katsottuna molempiin suuntiin omien tekijöidensä mittaiset etäisyydet. Kaikki matriisin aukkokohdat voidaan määrittää helpoiten siten, että lisätään ja vähennetään nollakohdasta matriisiin kuulumattomien tekijöiden pituinen matka.

Legendren alan ratkaisut löytyvät siis aina kohdista, jotka näkyvät kuvassa: käytössä olevien tekijöiden - niiden, jotka eivät kuulu puolivälin nollakohtaa - etäisyys nollakohdasta. Koska luku 2 sisältyy nollakohtaan, voisin tietenkin ehostaa kuvaa lisäämällä siihen parillisen ruudukon.

Lisäksi ongelmallisia ovat kohdat +1 ja -1 puolivälistä katsottuna.

Jos jokin tekijöistä P3 nuoli Px < n on peittämässä kohtaa -1 tai + 1, se ei pysty kumpaankaan suuntaan peittämään omaa alkulukuaan. Lisäksi tiedämme, että nollakohdan vierustava ruutu +1 tai - 1 on pariton (koska nollakohta n x n+1 on parillinen). Tästä seuraa, että tekijä Px astuu kumpaankin suuntaan seuraavaksi parilliseen ruutun - mistä seuraa, ettei tuo ruutu voi olla alkuluku - mistä seuraa, että tekijä Px jättää todennäköisesti jälkeensä 2 aukkoa peittäessään yhden.

Kaksi erillistä tekijää olisi sijoitettava matriisin ruutuihin -1 ja +1. Vaikka tekijöitä olisi käytettävissä lähes ääretön määrä, kaikki edellä sanottu pätee.

Oma korjaukseni Legendren konjenktuuriin olisi se, että tutkittavalla välillä on AINA VÄHINTÄÄN 2 ALKULUKUA. Jätän tähän kuitenkin pienen varauksen, sillä muistamme, että tutkittava alue ei ole 2n vaan 2n+1 - ja koska ulkoraja on n+1 potenssiin 2, saattaisivat sekä n+1 että n-1 olla alkulukupari - ja varteenotettavien tekijöiden maksimaalisen peittävyyden suhde alaan menisi parhaimmillaan hyvin tiukalle - ei kuitenkaan missään nimessä täytyisi. MOT.

Jos jollekin jäi jotain epäselväksi, tässä on vielä yksi kuva, josta näkyy todellisten ratkaisujen anatomia. Tekijöitä katsomalla asiat siis jälleen kerran selkiytyvät.

KLIKKAA ISOMMAKSI!

Ratkaisujen anatomia.

Kuten kuvasta näkyy, kaikki nollakohdat (keskellä) ovat parillisia - ja tulevat olemaan. Useimmat alkuluvut ovat muotoa -1 tai +1, mutta tämä ei ole mikään vakio - ainoastaan suuri todennäköisyys.

Vakio on kuitenkin se, että ratkaisuja löytyy. Kuten ennustin, ne ovat muotoa: nollakohta +/- tekijä, joka ei siihen kuulu. Esimerkiksi nollakohta 20 ei olekolmella jaollinen, joten kummaltakin puolen löytyy rarkaisu, joka on kolmen askelen etäisyydellä.

Vastaavasti 42 ei ole viidellä jaollinen, joten ratkaisut ovat viiden askelen päässä:
37 = 42 -5
47 = 42 +5

(Huomautettakoon vielä, että vaikka luku 7 on tekijänä luvussa 21 (20+1) se ei ole varteenotettava tekijä ennen kuin ruudusa 49 (7x7). Ainoa huomioitava tekijä on siis tuossa vaiheessa luku 3.)


Lopuksi

Legendren konjenktuuri on tutkituista kolmesta matemaattisesta ongelmasta mielestäni helpoin. En ole voinut esittää tässä kaikkia yksityiskohtia, koska oletan, että aiemmat osat lukeneelle henkilölle ne ovat jo avautuneet.

Todellisissa tilanteissa tekijät eivät tietenkään ole tarkoituksenmukaisesti sijoittuneita. Ne eivät yritä estää alkulukujen syntymistä - mutta tällä esityksellä tahdon osoittaa, että vaikka me saisimme vapaalla kädellä sijoittaa ne maksimaalisen peitävällä tavoin alueelle, ne eivät siltikään riittäisi.

Voimani alkavat tämän hyperfokusoituneen ja siitepölyoireilla piinatun toukokuun osalta ehtyä, mutta yritän seuraavassa osassa vielä kerran palata alkulukupareihin ja Goldbachin hypoteesiin. Laskeskelin päässäni, että täydellisen ja aukottoman todistuksen esittämiseen tarvitsisin vielä paljon paljon paljon sivuja ja kaavakuvia, mutta muutaman asian haluan sanoa pikaisesti, ennen kuin lähden Belgiaan ja juhannuslomille.