ALKULUKUJEN ARVOITUKSET, OSA 10/12.
Viime toukokuussa käsittelin
Goldbachin konjenktuuria,
Legendren konjenktuuria sekä alkulukupareja. Työ jäi kesken, koska voimat loppuivat. Ideat eivät päättyneet siihen, eikä todistelu. Työ oli mielessäni valmis, mutta uuvuin kymmenien liuskojen tekstistä ja kymmenistä kaavakuvista.
Nyt viimeinkin lueskelin uudestaan kirjoittamiani todistuksia ja huomasin, että ne hieman puuroutuvat muutamissa kohdin. Yritän edetä liian nopeasti. Muistelin myös, että olisin jo tyhjentävästi selittänyt alkulukuparien loputtoman määrän syyt sekä esittänyt todistuksen - mutta näköjään sekin työ oli sekavaa ja keskeneräistä.
Ongelma on siinä, että näen ratkaisun intuitiivisesti ja kokonaisena. Sitä ei kuitenkaan voi sanallisesti ilmaista muutoin kuin pienissä osissa. Pitkin matkaa täytyy luoda uusia käsitteitä ja esittää todistukset myös välivaiheista. Olemassaolevasta matematiikasta ei ole paljoakaan apua, koska lukuteoria on jo vuosisatoja sitten ajanut itsensä umpikujaan.
Matematiikan oliot on määritelty liian simppelisti. Monimutkaiset korkeamman asteen funktiot perustuvat liian karkeisiin lähtökohtiin ja siksi ne epäonnistuvat selittäessään alkulukuja.
Synteettiset oivallukset antavat virtaa, mutta analyyttinen todistelu on uuvuttavaa. Pakko kuitenkin yrittää, että saan ratkaisut pois päästäni ja voin taas vuosiksi unohtaa koko matematiikan olemassaolon.
Todistus alkuluparien äärettömästä määrästä, versio 1
Kerrotaan keskenään kaikki tunnetut alkuluvut, ja lisätään 1. Saadun uuden luvun X+1 tekijänä ei voi olla mikään edellisen luvun X tekijöistä, koska kahdella vierekkäisellä luvulla ei voi olla samoja tekijöitä.
Miksi? Koska joka toinen luku on jaollinen kahdella, joka kolmas kolmella jne. Millään tekijällä ei ole sitä ominaisuutta, että se esiintyisi perättäisissa luvuissa. Joka 43. luku on jaollinen 43:lla...
Niinpä kyse on alkuluvusta.
Tarkastellaan nyt lukua X - 1. Sillä ei voi olla luvun X tekijöitä, joten myös se on alkuluku. Tadaa, olemme löytäneet uuden alkulukuparin: X + 1 sekä X - 1.
Riittääkö tämä muka?
Ongelma on siinä, että kerrottaessa yhteen tekijöitä päädytään nopeasti hyvin suuriin luvun X arvoihin. Koska tiedämme myös, että alkulukuja on äärettömästi - ja myös hyvin paljon, emme voi estää sitä, ettei luku X +1 tai X -1 sisältäisi sellaista tekijää, joka on pienempi kuin neliöjuuri X, mutta ei myöskään sisälly lukuun X.
(Miksi neliöjuuri? Olen selittänyt tämän aiemmin, kun puhun alkulukujen ja tekijöiden erosta, sekä varteenotettavien tekijöiden merkityksestä. Jokainen alkuluku muuttuu varteenotettavaksi tekijäksi vasta, kun se on kertautunut itsellään. Sitä ennen se on toissijainen tekijänä, jota ei tarvitse huomioida.)
Tätä samaa ongelmaa ei tule vastaan, jos todistamme alkulukujen äärettömää määrää. Silloin voisi teoriassa tapahtua niin, että luku X sisältäisi kaikki aikaisemmin tunnetut alkuluvut. Luku X+1 ja X-1 olisivat nyt uusia tuntemattomia alkulukuja.
Koska alkulukujen ääretön määrä on todistettu, se todistus hankaloittaa alkulukuparien todistamista samalla kaavalla. Raja ei ole tullut vastaan. Niinpä riittää, että ainoastaan toinen luvuista X+1 tai X-1 sisältää alkuluvun, jota emme ole mahduttaneet tekijäksi lukuun X.
Todistus ei näin ollen päde. En koskaan ajatellutkaan, että se pätisi. Siksi en ole sitä esittänyt. Toimiva todistus on astetta monimutkaisempi.
Tekijöiden kierto (kertausta)
On tuskastuttavaa, koska en voi esittää todistusta, ilman, että lukija ymmärtää mitä tekijöiden kierrolla tarkoitetaan. Olen melko varma, että sitä ei kukaan ymmärrä, koska kukapa olisi motivoinut opiskelemaan mistä siinä on kyse? Se ei itsessään anna matemaatikolle mitään. Kyse on ainoastaan osatodistuksesta, jonka kehitin muita todistuksia varten.
Tekijänkierto tarkoittaa sitä, että jokainen uusi tekijä astuu sitä pienempien tekijöiden muodostaman matriisin jokaiseen ruutuun tasan kerran, ennen kuin kaikki tekijät kohtaavat uudessa
origossa.
 |
| Tekijänkierto: KLIKKAA ISOMMAKSI! |
Luku 210 on lukujen 2 x 3 x 5 x 7 Origo.
Väli 0 -> 30, 30n -> 60n edustaa matriisia Origo30.
Väli 0 -> 210 edustaa matriisia Origo210.
Voimme muodostaa miten ison matriisin tahansa ja tiedämme jokaisen uuden, suuremman alkuluvun astuvan sen jokaiseen ruutuun tasan yhden kerran.
Kuviosta näemme kuinka tekijä 7 saa seuraavat arvot:
30n + 1 = 30 x 3 +
1 = 91
30n + 2 = 30 x 6 +
2 = 182
30n + 3... 30 x 2 +
3 = 63
...30 n+0 = uusi origo, eli uusi nollakohta.
Luvulla nolla on kaikki tekijät. Origiolla on samoin kaikki ne tekijät, jotka matriisissa on esitetty tunnettuina. Siksi kutsun sitä "origoksi",
siirretyksi origoksi tai
matriisin nollakohdaksi.
Kaavion osoittama käyttäytyminen mahdollistaa sen, että voimme ennakoida, missä
varteenotettavat tekijät liikkuvat ja sitä kautta myös, missä
potentiaalisten alkulukujen aukkokodissa uudet alkuluvut seuraavaksi realisoituvat. Tunnemme tekijämatriisit läpikotaisin siitä syystä, että jokainen suurempi matriisi koostuu pienemmistä matriiseista kuten monisoluiset eliöt koostuvat soluista.
On ymmärrettävä ainakin neljä uutta käsitettä ja niiden kuvaamaa matemaattista ilmiötä (
origo, potentiaalisten alkulukujen aukkokohta, tekijänkierto, tekijöiden kypsyminen varteenotettaviksi), jotta tästä eteenpäin esitetyn alkulukuparien todistuksessa olisi mitään tolkkua.
Potentiaalisten alkulukuparien todistaminen, versio 2
Aiemmissa osissa todistin, että matriisit - kuinka hyviä ne ikinä ovatkaan, äärettömyyteen asti - sisältävät aina enemmän potentiaalisia alkulukuparien aukkokohtia kuin niitä pienemmät matriisit.
Tämä on tärkeä osatodistus, jonka mielestäni esitin riittävän selkeästi. Siinä ei ole mitään ihmeellistä, enkä siis palaa nyt siihen.
Nyt minun tulisi todistaa, että potentiaaliset alkulukujen aukkokohdat myöskin realisoituvat. Silloin alkulukujen ääretön määrä olisi todistettu aukottomasti.
Tiedämme aiemmasta myös sen, että varteenotettavien tekijöiden suhteellinen määrä pienenee. Se johtuu logaritmista ja tekijöiden hitaasta kypsymisestä.
Parilliset luvut tai kolmella jaolliset luvut eivät voi täyttää matriisin aukkokohtia, jos luku 2 tai luku 3 ovat tunnettuna tekijöitä. Ne ovat tunnettuja tekijöitä, jos olemme määritelleet ne matriisin origoon, eli jos ja kun käytämme Origoa 210, ovat tunnettuja tekijöitä 2, 3, 5 ja 7.
Jokainen alkuluku, otetaan esimerkiksi luku 43 - siirtyy matriisissa kulkiessaan ensimmäiseksi ruutuun 2 x 43. Se on tietenkin seuraava luku, jossa se on tekijänä. Tämä luku on parillinen, koska siinä on tekijänä myös 2.
Seuraava luku, jonka 43 múodostaa, on kolmella jaollinen, sitten neljällä - eli jälleen kahdella - ja niin edes päin.
Jos piirtäisimme kyllin suuren kaavion - siis sellaisen, jossa on 43 x 210 ruutua, me näkisimme kuinka tekijä 43 etenee matriisissa.
Se osuu jokaiseen matriisin ruutuun tasan kerran, eikö niin?
Minkä muutoksen se saa matrsiissa aikaan? Kuinka monta aukkokohtaa se peittää?
Ensimmäinen aukko, jonka luku 43 peittää, on luku 43 x 43. Silloin mikään sitä pienempi tekijä ei ole jo ehtinyt peittää aukkokohtaa ja poistaa sitä matriisista.
Toisin sanoen, kestää pitkän aikaa ennen kuin uusi alkuluku saa matriisissa aikaan mitään vaikutuksia. Tästä johtuu se, että meidän tarvitsee tarkastella luvulla 0 -> n vain sellaisia tekijöitä, jotka ovat pienempiä kuin neliöjuuri n.
Kun n = 100, nämä tekijät ovat 2 < 10, 3 < 10 , 5 < 10 ja 7 < 10.
Kun n on miljoona, siitä tarvitsee huomioida vain 1/1000 osa, siis luvun neliöjuuri. Kun tarkasteltava alue kasvaa, varteenotettavien tekijöiden suhteellinen osuus pienenee. Tämän vuoksi alkulukuja ylipäänsä on niin valtava määrä!
Alkulukujen potentiaalisuuden realisoituminen
Alkulukujen ja alkulukuparien todistukset eroavat suuresti toisistaan sen vuoksi, että parien tapauksessa riittää se, ettei toinen parista realisoidu.
Jotta alkulukupareja olisi ääretön määrä, meidän on löydettävä mekanismi, joka varmuudella estää peräti kahden matriisin aukkokohdan peittymisen.
Tiedämme siis, että potentiaalisia aukkokohtia on valtava määrä, koska aukot periytyvät pienemmistä matriiseista, ja koska useiden tekijöiden keskittyminen saa aikaan tyhjän tilan lukujonon molemmille puolin.
Tiedämme myös, että sen jälkeen, kun tietty tekijä on astunut matrsiisin 210n +3 ruutuun, se ei enää samalla kierroksella astu tuohon ruutuun toista kertaa.
JA: tiedämme varmuudella, että jos luku 30 x 6 + 2 on jaollinen seitsemällä, myös luvut 210n + (30 x 6 +2) ovat vastaisuudessa seitsemällä jaollisia.
SIIS: Jokainen matriisi jättää useammat parillisen aukkokohdan vapaaksi, kuin sitä pienempi matriisi. Aukkokohtien syntymistä ei voi estää, vain niiden realisoitumisen. Jokainen alkuluku etenee kellontarkalla rytmillä.
Uusien, suurempien matriisien laajempaa parillisten aukkojen kirjoa voivat peittää ainoastaan uudet, suuremmat ja matriisissa huomiotta jääneet alkuluvut.
SEKÄ: myös ne kulkevat suuremmassa kaavassa katsottua kellontarkkaa rataa pitkin.
Esittelen uuden allegorian, joka saattaa kuulostaa huimalta, mutta itse asiassa siinä on paljon järkeä. KUVITELLAAN, ETTÄ ALKULUVUT OVAT PLANEETTOJA.
Luku 1 kiertää aurinkoa, siis origoa lähimpänä. Sen kiertoon kestää vain 1 päivän.
Luku 2 kiertää auringon ympäri 2 päivässä.
Luku 3 kiertää auringon ympäri 3 päivässä.
Luku 5 kiertää auringon ympäri 5 päivässä.
Jos kiertosyklit ovat täsmälliset tiedämme tämän perusteella, että planeetat 2, 3 ja 5 asettuvat keskenään suoraan linjaan joka 30. päivä.
Oletetaan, että planeettoja loputon määrä. Kauimmaisten planeettojen kiertoaika on miltei loputtoman pitkä, emmekä edes tunne niiden nykyistä sijaintia.
Asetumme asumaan aurinkoa lähimpänä kiertävälle planeetalle 1 ja katselemme sieltä äärettömän tehokkaalla kaukoputkella avaruuteen. Hyvin usein käy niin, että planeetta 3 peittää näkyvistään planeetan 5, joka silloin tällöin peittää näkyvistään planeetan 7 jne.
Voidaanko nyt olettaa, että koskaan äärettömän pitkässä ajassa ei tule tapahtumaan sellaista ajanhetkeä, jolloin planeetan 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19... eivät sijoittuisi kauniisti peräkkäin?
Tai että ne olisivat päällekkäin ja peittäisivät toisensa... tai mitä tahansa yhdistelmää?
Kaikki mahdolliset kuviteltavat järjestelyt toteutuvat juuri siksi, että planeettojen kiertoradat ovat yhteismitattomia. Ne ovat alkulukuja. Ne eivät kohtaa toisiaan tylsän säännöllisesti. Säännönmukaisuus on olemassa, mutta sen hahmottaminen on vaikeampaa.
Jos planeetat olisivat 2, 4 ja 8, ne asettuisivat päällekkäin säännöllisesti joka 8. päivä. Kuinka tylsää ja ennalta arvattavaa!
Ja silti voimme hyvin hankalassa todellisessa maailmassa laskea ja ennakoida matemaattisesti planetaariset ilmiöt. Sama pätee alkulukuihin, myös parillisiin sellaisiin.
Jee, laskuja!
Lasketaan kokeilun vuoksi, milloin ja missä luvut 3, 5 ja 7 ovat kauniisti peräkkäin. Miten tämä tapahtuu?
Yksi tapa on käyttää valmista taulukkoa. Me näemme kaikki tapaukset, joissa luku 7 tulee heti tekijän 5 jälkeen. Joka kolmas tällainen tapaus on vastaus kysymykseen.
Voimme lähestyä kysymystä myös analyyttisemmin. Kumpikaan luvuista X ja X+1 ei saa olla samaan aikaan jaollinen kolmella, se jo riittää.
Viidellä, mutta ei kolmella jaollisia sijainteja ovat 30n + 5, 30n+10, 30n + 20, 30n + 25
30n + 5 ei jäy, koska sitä seuraava luku on 30n + 6, joka on kolmella jaollinen. Kolmosen pitäisi sijaita ennen lukua, ei heti sen jälkeen.
Sama pätee lukuun 30n+20. Seuaava luku voi olla seitsemällä jaollinen, mutta se on jokaisessa tapauksessa myös kolmella jaollinen. Se ei siis käy.
Haemme siis lukuja, jotka ovat muotoa 30n + 10 tai 30n +25. Ne ovat viidellä jaollisia, ja niiden vasemmalla puolella on kolmella jaollinen luku.
Oikealla puolella olevan luvun on oltava 7:llä jaollinen. Muodostetaan siis kaava, jota en valitettavasti osaa muodostaa ihan oikein.
1. (30n + 10 +1) / 7 = ___ // X = N (luonnollinen kokonaisluku)
2. (30n + 25 + 1)/ 7 = ___
Tämän kanssa piti hetki säätää ruutupaperilla, mutta 1. tapauksessa n = 5 ja X = 161, 2. tapauksessa n = 1 ja X = 56.
54 - kolmella jaollinen
55 - viidellä jaollinen
56 - seitsemällä jaollinen
159 - kolmella jaollinen
160 - viidellä jaollinen
161 - seitsemällä jaollinen
Jos haluamme tietää, missä luvut ovat käänteisessä järjestyksessä, meidän tarvitsee vain vähentään luvut 210:stä. Matriisit ovat sisäisesti symmetrisiä, kuten aiemmin todistin.
Voisimme helposti kehittää ohjelman, joka etsisi paljon pidempiäkin alkulukujen peräkkäisiä ketjuja.
Johtopäätöksiä
En ihan vielä päässyt lopulliseen todistukseen, mutta tiedämme tämän verran.
Matriisin sisällä tekijät 3, 5 ja 7 asettuvat samalla tavoin suhteessa toisiinsa kahdesti - kaikilla kuviteltavissa olevilla tavoin. Toisella kertaa keskimmäinen luku on parillinen, toisessa tapauksessa pariton. Tämä johtuu siitä, että myös luku 2 on matriisin tunnettu jäsen.
Jos lukua 2 ei huomioida, matriisin origo sijaitsee jo kohdassa 105. Myös tämän origon suhteen esiintymät ovat säännöllisiä ja symmetrisiä...
105 = 3 x 5 x 7
159 = 105 + 54
160 = 105 + 55
160 = 105 + 56
Suuremmat metriisit rakentuvat pienemmistä matriiseísta. Niiden sisäinen symmetriä ja säännönmukaisuus pätee täydellisesti ja äärettömyyteen asti.
Tässä tarjoutuu mahdollisuus oivallukseen.
Matriisit sisältävät yhden kappaleen kutakin tekijöiden asemointia, sekä sen peilikuvan.
Potentiaaliset alkulukuparit esiintyvät aina matriisissa - miten isosta matriisista onkaan kyse - kahtena kappaleena, oman itsensä peilikuvana.
Oletetaan siis, että äärettömän suuren matriisin alkulukuparille mahdollien tupla-aukkokohta on peittynyt tekijällä Z. Tämä tekijä on pienempi kuin neliöjuuri n, minkä lisäksi se ei ole matrsiisin tunnettu tekijä. Se on siis vaarallinen, alkulukupareja estävä vapaasti liikkuva tekijä.
Melkein alkulukuparilla A - B on symmetrinen peilikuva B - A. Sama tekijä ei voi hoitaa päiviltä toisa kertaa pelikuvan samaa jäsentä, koska se on lähtenyt matriisin origosta. Jos se kulkisi peilikuvan suhteen samaa rataa, se osuisi myös siirrettyyn origoon matriisin toisessa päässä. Silloin se olisi matriisin tunnettu tekijä, mikä on jo pois suljettua. Vain tunnettujen tekijöiden symmetriä pätee suhteessa matriisiin, muille tekijöille pätee vain se, että ne eivät astu kahta kertaa samaan ruutuun ennen origoa.
Voiko tekijä astua myöskään alkulukuparin toiseen jäseneen B?
Tarkastellaan uudestaan kaavakuvaa, jossa on esiteltynä tekijänkierto. Näemme, että tekijä 7 itse asiassa poistaa kullakin matriisin rivillä vain yhden potentiaalisen alkuluvun, eli aiempien tekijöiden aukkokohdan.
Onko tämä säännönmukaisuus ja mihin se perustuu?
Se ei ole säännönmukaisuus, mutta se kyllä ennakoi tiettyjä sääntöjä.
Alkulukujen välimatkatekijät
Emme ole vielä käsitelleet alkulukujen keskinäisen sijainnin etäisyyttä. Tämä tulee tärkeämmäksi vasta Goldbachin konjenktuurin yhteydessä, mutta jos katsot taulukkoa niin huomaat, että alkulukujen etäisyys toisistaan on aina parillinen.
Totta kai parittomien lukujen etäisyydet ovat parillisia. Muutoin jokin alkuluvuista olisi parillinen, jos se sijaitsisi parittomalla atäisyydessä suhteessa muihin parittomiin alkulukuihin. (Se on mahdollista vain kun kyseessä on luku 2.)
Tämä sama sääntö pätee myös kolmoseen ja kolmella jaettavuuteen. Alkulukujen etäisyys on 2/3:lla suhteessa kolmosen monikertoihin, mikä voi olla vaikea ymmärtää. Ei pariton, vaan
kolmokseton.
Alkulukuparit, matriisissa origo30, ovat suhteessa toisiinsa etäisyydellä 2, 2 x 2 ( x 2) tai 2 x 3. Niiden välimatkan täytyy olla joko kahdella tai sekä kahdellä että kolmella jaollisia, muutoin syntyisi paradoksi: alkuluku, joka olisi kolmella jaollinen suhteessa origoon, siis kolmella jaollinen alkuluku? Kolmas mahdollinen
välimatkatekijä on 5, kolmas matriisin tunnettu tekijä.
Alkuluvut 7 ja 17 ovat matriisissa 0 >> 30 kymmenen askelen päässä toisistaan. 7 ja 23 välinen etäisyys on 16, siis kaksi potenssiin neljä.
Matriisin tunnettuja tekijöitä suurempi tekijä ei pysty ottamaan askelia, jotka vastaavat mitään näistä. Luvun seitsemän on mahdoton missään olosuhteissa ottaa 6:n tai 12:n ruudun pituista askelta.
(Symmetrisyys kuitenkin pätee myös 7:n kohdalla, kun tarkastellaan sen liikkeitä suuremmassa mittakaavassa. Kaavion puolivälissä se osuu Origon keskikohtaan, minkä jälkeen se samalla rivillä poistaa 30x3 + 1 ja +29. Näiden välinen etäisyys on 7:llä jaollinen, eli 28).
Jokainen tekijä, josta on tullut potentiaalinen, kohtaa nämä samat edut ja rajoitukset.
Yhden ja saman läpikulun aikana sen on mahdollista täyttää yhden kerran kukin matriisin aukkokohta - ja sen se myös tekee, ennen pitkää.
Tiedämme, että potentiaalisia tekijöitä voi olla liikkeellä hyvin suuri määrä. Jokainen liikkeellä oleva tekijä on kuitenkin matriisin sisällä samassa suhteessa kaikkiin muihin tekijöihin säännönmukaisin väliajoin.
Niiden keskinäinen matriisi sulkeutuu vasta äärettömän suuressa nollakohdassa.
Jos laskemme yhteen miljoona pienintä tekijää, saamme valtaisan matriisin. Potentiaalisia alkulukuparien aukkokohtia tuossa matriisissa on lukematon määrä.
Jokainen alkuluku, eli potentiaalinen tekijä, kulkee tuon matriisin läpi ja yhdellä kierroksella se peittää yhden aukkokohdan. Tämä voi kuulostaa uskomattoman vähäiseltä, sillä matriisi on symmetrinen ja sen toisella laidalla odottaa alkulukupari, jonka toista osapuolta sama tekijä ei voi peittää.
Tekijä 11 hoitelee yhdellä läpikäynnillä Origosta210 suurinpiirtein 1/11 osan matriisin aukkokohdista. Muut tekijät eivät juurikaan pääse vauhtiin. 13x13 on ainoa poikkeus.
11 on täydentänyt vartiokierroksensa kun metriiseja on käsitelty 11 kappaletta.
Aiemmin laskimme, että potentiaalisia alkulukupareja on matriisissa origo210 kaikkiaan 15 kappaletta.
Näemme kaaviosta, että niistä realisoituu 11.
Origossa 2310 on potentiaalisia alkulukupareja 15 x (11-2) = 135. Niistäkin realisoituu yli kolmannes.
Voimme täysin eksaktisti laskea potentiaalisten alkulukuparien määrän kuinka suurelle matriisille tahansa. Isompi kysymys on siitä, miten suuri osa niistä lopulta realisoituu.
Niistä kuitenkin aina realisoituu merkittävä osa. Matriisi on huomattavasti suurempi kuin sen neliöjuuri, ja myöskin symmetrinen. Sen toisella, kauemmalla laidalla olevista alkulukupareista useimmat säästyvät jo sen vuoksi, että tekijät ovat lähteneet liikkeelle samoista kohdista, mutta peilipuolelta. Niiden on mahdotonta kulkea symmetrisesti matriisissa, jonka tekijä ne itse eivät ole.
Paljon merkittävämpi havainto on kuitenkin huomattavasti yksinkertaisempi.
Tiedämme, että jokainen matrsiisi, miten tahansa suuri se onkaan, synnyttää alkulukupareille otollisia aukkokohtia.
Lähdetään liikkeelle luonnollisesta origosta, ja otamme matriisiksi tuhat ensimmäistä alkulukua. Miten toimii seuraavaksi suurin alkuluku?
Se hyppää tietenkin itsensä pituisen askelen, kohtaa luvun 2, hyppää taas ja kohtaa luvun 3. Näin jatkuu, kunnes se kertautuu itsensä kanssa.
Samoin toimii seuraavaksi suurin alkuluku. Mikään tuntematon tekijä ei siis millään tavoin uhkaa matriisin ensimmäistä potntiaalista alkulukuparia. Se toteutuu väistämättä.
ERGO: Jos alkulukumatriisissa on ennustettu olevan potentiaalisia alkulukupareja, niistä jo heti ensimmäinen toteutuu.
Tiedämme, että potentiaalisten alkulukujen kasvava määrä on todistettu äärettömän suurilla matriiseilla.
Niinpä alkulukupareja on ääretön määrä. M.O.T.
Matriisin omat tekijät voivat saada aikaan sen, että parin ilmaantumiseen on matkaa.
Vielä esimerkki:
Matriisissa, jonka suurin tekijä on seitsemän, toteutuu alkulukupari 11 + 13. Matriisissa, jonka suurin tekijä on 13, toteutuu alkulukupari 17+19. jne.
Ymmärrän, että tämä voi kuulostaa hassulta, mutta niin yksinkertaista se on. Tietojemme varassa olisi loogisesti mahdotonta, että tuntematon, suurempi tekijä vaikuttaisi matriisissa ennen kuin sen omat tekijät ovat ehtineet liikkua ja muokata sitä. Tuhannen päälle sijoittuvat alkuluvut eivät muutu aktiivisiksi tekijöiksi välillä 1000 >> 1.000.000. Tämä on tietenkin murto-osa koko matriisista, mutta tuhat kertaa suurempi alue kuin se, jolta tekijät ovat lähteneet liikkeelle.
Varmuuden vuoksi esitän myöhemmin myös todistuksen, joka lähtee liikkeelle hieman eri suunnasta.
Alkulukuparien etsimisestä
En ole ollut kiinnostunut suurimmasta alkulukuparista, jonka voisi etsiä megatitokoneella, vaan eksakteista sijainneista. Alkulukupareja on helppo seuloa siten, että kerrotaan keskenään alkulukuja, jotka eivät ole parillisia - ja sitten saatuun lukuun lisätään ja siitä miinustetaan tunnettu alkulukupari.
Saadut luvut eivät voi olla jaollisia millään käytetyistä tekijöistä. Siksi todennäköisyys on suuri.
Esimerkiksi 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 =30030
Vähennetään 17 ja 19, saadaan alkulukupari: 30013 ja 30011. Myös lisättäessä toinen luvuista on alkuluku, eivät sentään molemmat.
Lisää etsiskelyn perusteista seuraavassa osassa...
